在 O（V + E）中验证 Dijkstras 算法 [关闭]

Question

我正在努力解决这个问题：

Gaedel 教授编写了一个程序，他声称该程序实现了 Dijkstra 算法。 该程序为 V 中的每个顶点 v 生成 v.d 和 v.π。给出一个 O.(V + E)-时间算法来检查教授程序的输出。这应该 确定 d 和 π 属性是否与某些最短路径树的属性匹配。 你可以假设所有边的权重都是非负的。

v.d 是从起始节点到 v 的最短距离。 v.π 是 v 在从起始节点到 v 的最短路径中的前任

我的想法是： 对于每个顶点 (i)，将 i.d 与 (i.π).d 进行比较。如果 i 的前任有更大的 d 值，那么我们就不可能有最短路径树。

我相信这可以检查教授的输出是否不是最短路径树，但我认为它不能确认输出是最短路径树。如果没有更多信息，我想不出办法。

我走对了吗？

Answer 1

我认为这可行

做一个 DFS，但不是遵循规则的图边，而是只遵循每个顶点的 π 值。您这样做是为了产生拓扑排序，以便完成的第一个顶点将是拓扑排序中的第一个顶点。请注意，您生成的拓扑排序中的第一个顶点将是提供给 Gaedel 算法的“源”顶点。

现在您有了一个拓扑排序，您可以以最有效的顺序放松边缘，就像您在 DAG 上所做的那样。

for each v in topoSortedVerts
    if v.d_verify != v.d_Gaedel
        //fail

    for each u in v.adjacencies
        relax(v, u)

if v.d_verify != v.d_Gaedel
    //fail

我认为您可能还需要确保考虑所有 V 顶点，并且源顶点匹配。可能是。另外，我猜 Gaedel 的由 π 值诱导的前任子图可能真的被抬高了，并且有各种疯狂的错误，但我认为它没有。

它是O(V + E)，因为外部循环运行V 次，而内部循环运行E 次使用聚合分析。