如何使用求和计算这种对数复杂度？答案

【问题标题】：How do I calculate this logarithmic complexity using summations?如何使用求和计算这种对数复杂度？
【发布时间】：2018-04-01 20:02:59
【问题描述】：

我的问题

这段代码 sn-p 的 Big-O 复杂度是多少？将 n 视为 4 的幂。

for(int i = 1; i <= n; i = i*4)                      
    for(int k = 1; k <= i; k++)                 
       // constant statement

到目前为止我所知道的

我尝试将此代码汇总以找出复杂性。这就是我得到的：

我通过计算系列 4、4^2、4^3 ... 4^r = n 得到 (base 4) log(n)。 r = (base 4) log(n)。

我现在陷入了这个总结：

如果我做错了什么或有其他方法可以做到这一点，请告诉我。

【问题讨论】：

标签： for-loop big-o computer-science

【解决方案1】：

您可以使用 wolframalpha 来获得极其准确的结果。

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+i,+i%3D1+to+log_4(n)

【讨论】：

【解决方案2】：

你在正确的轨道上，但你内心深处的总结是错误的。你是对的，外部循环将迭代 log_4 n 次，但是你已经设置了外部总和，以便 i 计数为 1、2、3、...、log_4 n，而不是 4^0、4^1 , 4^2, ... 4^log_4 n。结果，内部求和的上限是不正确的。界限应该是 4^i，而不是 i。

如果你这样设置，你会发现总和是

4^0 + 4^1 + 4^2 + ... + 4^log_4 n

= (4^(log_4 n + 1) - 1) / (4 - 1)（使用几何级数和的公式

= (4(4^log_4 n) - 1) / 3

= (4n - 1) / 3

= Θ(n)。

【讨论】：