有向图的双向最小生成树答案

【问题标题】：A two way minimum spanning tree of a directed graph有向图的双向最小生成树
【发布时间】：2011-02-17 13:05:52
【问题描述】：

给定一个带有加权边的有向图，什么算法可以用来给出一个权重最小的子图，但允许从图中的任何顶点移动到任何其他顶点（假设任意两个顶点之间的路径永远存在）。

这样的算法存在吗？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

尽管他们自己并不正确，但花时间关注 Vitalii 的 Wikipedia 链接很快发现了这个算法：

【讨论】：

【解决方案2】：

这看起来是 NP-Hard：最小权重强连接跨越子图问题。

我相信哈密顿循环问题可以简化为：给定一个图 G(V,E)，构造一个有向图 DG，其中出现的边的权重为 1，不出现的边的权重为 100 (|V|+1)吨。 DG 有一个最小权重的强连接跨越子图，正好 |V|当且仅当 G 具有哈密顿循环。

【讨论】：

【解决方案3】：

将图中的每个节点拆分为两个节点。一个节点将接受原始节点的所有传入边，而另一个节点将拥有所有传出边。然后，将方向放在所有边上，因此图是无向的。然后您可以在图上运行标准的 MST 算法（Prim's、Kruskal's），您将确保每个原始节点都可以被其他每个原始节点传送到。

【讨论】：

不幸的是，这不起作用，因为它会在最终图形中添加不必要的边。至少一个节点将附加一条额外的边，即使它不需要具有该边。例如，在具有顶点 A、B、C 和边 AB、BA、BC、CB、AC、CA 的图中，图的最小跨度可能只是边 AB、BC、CA。但是使用您的方法，这 3 条边不会相互连接，需要添加额外的边才能完成 MST。

【解决方案4】：

这是一个有向施泰纳树问题。作为 Steiner 树，它是 NP-Hard。

你可以在这里找到一些近似算法：

【讨论】：

【解决方案5】：

选择任意一个节点并返回它。

您的意思是要找到最大的强连接子图（可能删除的节点数量最少），还是最小权重跨越子图（不删除节点允许）？

【讨论】：