使用动态规划找到矩阵中的最小和答案

【问题标题】：Using dynamic programming to find minimal sum in matrix使用动态规划找到矩阵中的最小和
【发布时间】：2023-03-06 09:38:01
【问题描述】：

我需要在我的程序中实现这一点，假设我们给定了大小为 N*M 的矩阵，其中 N

现在我们必须找到最小和，这样我们就应该从每一列中准确地选择一个元素，并且我们不能从同一行中的不同列中选择两个元素

例如，设 N = 3 , M =2 我们有矩阵

[3, 0],

[6, 9],

[5, 9],

我们可以选择 3+9、6+0、6+9、5+0、5+9，但不能选择 3+0。

我知道我可以用 N^M 时间复杂度的递归来解决，但我需要更快的解决方案，请给我一些提示。

【问题讨论】：

你确定动态规划是关键吗？不知道为什么会这样。
我不确定，但我认为动态编程是关键，因为我们必须小心地暴力破解它们

标签： matrix dynamic-programming

【解决方案1】：

让我们遍历从 1 到 N 的所有行。我们的动态编程状态将是对 (i, j)，其中 i 是行号，j - 已使用列的位掩码（列在掩码中从零开始） .我们将找到函数F(i, j) 的值 - 最小总和，可以使用前 i 行并从以 j 编码的列中获取元素来实现。答案将是F(N, (1<<M) - 1) 的值。复发：

F(0, 0) = 0
F(0, i) = MAXN, where i > 0        
F(i, j) = min(F(i-1, j), F(i-1, j ^ (1<<k)) + Matrix[i][k+1]), where 0<=k<M, j & (1<<k) != 0

【讨论】：