我正在尝试了解以下使用动态编程进行矩阵乘法的算法。
如果mi, j 是评估产品Mi × ... × Mj 的最低成本，那么：
算法：
for i := 1 to n do
mi,i := 0
for length := 1 to n-1 do
for i := 1 to n-length do
j := i + length
mi,j = MINi≤k<j{mi,k + mk+1,j + ri-1rkrj}
关于它实际工作原理的任何线索，或者是否有人可以为我指出一个很好的参考。
【问题讨论】：
标签： algorithm language-agnostic dynamic-programming
该算法找到乘以矩阵链的最低成本。
给定一个矩阵A 具有p 行和q 列，以及一个矩阵B 具有q 行和r 列，标准矩阵乘法A·B 需要p*q*r 乘法 -对于产品的每个p×r 条目，q 对应行的元素A 和对应的列B 的元素之间的乘法。
现在，矩阵乘法是关联的，所以你可以用括号括起来
M_1 · M_2 · … · M_n
如你所愿，它总是会产生相同的结果。
现在，让r_0 为M_1 的行数，r_i 为M_i 的列数（对于要定义的产品，它也必须是M_(i+1) 的行数） .
那么M_i · … · M_k是一个r_(i-1)×r_k矩阵，M_(k+1) · … · M_j是一个r_k×r_j矩阵。因此，如果乘积 M_i · … · M_j 的计算方法是首先计算乘积 M_i · … · M_k 和 M_(k+1) · … · M_j，然后将两个结果矩阵相乘，则乘法的总成本为
c_{i,k} + c_{k+1,j} + r_(i-1)×r_k×r_j
其中c_{i,k} 是选择的计算M_i · … · M_k 方式的成本（与c_{k+1,j} 类似）。
现在，如果以最低成本评估两个子产品，那么显然可以实现通过在M_k 之后拆分来评估M_i · … · M_j 的最低成本。
评估M_i · … · M_j 的最低成本是通过计算所有可能拆分的最低成本来找到的，所以
m_{i,j} = min { m_{i,k} + m_{k+1,j} + r_(i-1)×r_k×r_j : i <= k < j }
为i < j。
然后计算完整产品的最低成本，首先计算仅涉及两个矩阵的子产品的最低成本[其中只有一个可能的拆分]，然后计算使用三个矩阵的子产品的最低成本，为此我们需要只有两个矩阵的子产品的最小成本 - 这就是括号起作用的地方，通常会产生影响 - 然后是四个等等，直到找到总计算的最小成本。
要找到产生最低成本的括号，您可以搜索最低成本数组以找到产生它的拆分[然后是两个子产品等]，但最好存储信息在m 数组中以最低成本以及最低成本拆分的位置。
【讨论】：
我不喜欢复制和粘贴，我会保持简短并用我自己的话来说：
这个问题的关键是：计算A*B*C只有两种可能的方式：A*(B*C)或(A*B)*C。同样，计算 A*B*C*D 只有三种方式：A*(B*C*D)、(A*B)*(C*D)、(A*B*C)*D。 （注：（B*C*D）和（A*B*C）这里是子问题，之前已经计算过了）
所以，计算 M1*M2*...Mn 有 n-1 种可能性：M1(M2*M3*...*Mn), (M!M2) em>(M3*...*Mn), ... , (M1*M2*...*Mn-1)*Mn
这就是你给定的伪代码中的内容:)
【讨论】：