诱导图中的顶点和 - 动态规划

Question

这是一个家庭作业问题，所以我很乐意得到提示。

我有一个图 G，其中每个顶点 v 都有一个权重 w(v)。

S(G)是图中所有顶点的权重之和。

我需要找到一个算法来确定是否存在一组顶点 A，当 G[A]（由 A 诱导的 G 的图）是一棵树时，执行 S(G[A])=S(G[ V\A])。

我知道我应该遍历所有顶点，将它们的权重相加，然后尝试找到一棵达到该总和一半的树，但我不确定如何准确。我很确定它涉及动态编程。

非常感谢，

亚龙。

Answer 1

这不是一个真正的动态规划问题，它是一个搜索问题，关键是你试图找到一棵树。

如果你仔细想想，你已经知道一两个算法会告诉你最小生成树。通过同样的逻辑，您可以制作最大生成树。例如，如果您找到最大生成树并且其权重之和小于 50%（或任何目标值），那么您就知道这个问题是不可能的。

因此，按照这个逻辑，您可以像制作生成树一样继续前进，并拒绝任何超过目标数量的路径。这种策略被称为“分支和绑定”。让我们想象一下我们如何使用 Kruskal 算法做到这一点：

(1) 你会有一组树；从每个顶点开始作为单独的“树”

(2) 维护一个尚未使用的边缘队列，从最小到最大排序

(3) 维护一堆你用过的边

(4)寻找一条边(a)连接两棵不同的树，(b)两棵树的和小于（或等于目标值，即解）

(4a) 如果不存在这样的边，则从堆栈中弹出一个值（移除边并分离树）并尝试队列中的下一个值

(4b) 如果确实存在这样的边，则添加边（合并两棵树），将其压入堆栈并返回步骤 4

显然有不同的方法来执行相同的过程。例如，您也可以使用 Prim 算法的变体。