堆叠和动态规划

Question

基本上我正在尝试解决这个问题：

给定 N 个单位的立方体块，为了使用所有块，找出要堆的较少数量的堆。一堆是立方体或金字塔。例如，两个有效的堆是立方体 4 *4 *4=64 使用 64 块，金字塔 1²+2²+3²+4²=30 使用 30 块。

但是，我找不到合适的角度来接近它。感觉和背包问题很像，但是还没有找到实现。

任何帮助将不胜感激！

Answer 1

首先我将给出一个递归关系，它允许递归地解决问题。给定N，让

SQUARE-NUMS
TRIANGLE-NUMS

分别是{1,...,N} 中平方数和三角形数的子集。让PERMITTED_SIZES 成为这些的联合。请注意，由于1 出现在PERMITTED_SIZES 中，因此任何实例都是可行的并且会产生非负最优值。

伪代码中的以下函数将递归解决问题中的问题。

int MinimumNumberOfPiles(int N)
{
    int Result = 1 + min { MinimumNumberOfPiles(N-i) }
    where i in PERMITTED_SIZES and i smaller than N;
    return Result;
}

这个想法是为项目选择一个允许的 bin 大小，删除这些项目（这使得问题实例更小）并递归解决更小的实例。为了使用动态规划来规避对同一子问题的多次评估，可以使用一维状态空间，即数组A[N]，其中A[i] 是i 单元块所需的最小堆数。使用这个状态空间，可以迭代地解决这个问题，如下所示。

for (int i = 0; i < N; i++)
{
    if i is 0 set A[i] to 0,
    if i occurs in PERMITTED_SIZES, set A[i] to 1,
    set A[i] to positive infinity otherwise;
}

这会初始化预先知道的状态，并且对应于上述递归中的基本情况。接下来，使用以下循环填充缺失的状态。

for (int i = 0; i <= N; i++)
{
    if (A[i] is positive infinity)
    {
        A[i] = 1 + min { A[i-j] : j is in PERMITTED_SIZES and j is smaller than i }
    }
}

所需的最佳值将在A[N] 中找到。注意这个算法只计算最小的堆数，而不是堆本身；如果需要合适的分区，则必须通过回溯或维护额外的辅助数据结构来找到它。

总的来说，只要知道PERMITTED_SIZES，问题就可以在O(N^2)的步骤中解决，因为PERMITTED_SIZES最多包含N的值。

这个问题可以看作是对Rod Cutting Problem 的改编，其中每个正方形或三角形大小的值都为0，而其他所有大小的值都为1，目标是最小化总值。

总的来说，从输入生成PERMITTED_SIZES 需要额外的计算成本。

更准确地说，当A被填满后，可以使用回溯生成相应的桩选择，如下所示。

int i = N; // i is the total amount still to be distributed
while ( i > 0 )
{
    choose j such that
    j is in PERMITTED_SIZES and j is smaller than i
    and
    A[i] = 1 + A[i-j] is minimized
    Output "Take a set of size" + j; // or just output j, which is the set size

   // the part above can be commented as "let's find out how
   // the value in A[i] was generated"

   set i = i-j; // decrease amount to distribute
}