为什么在时域和频域中执行卷积结果的长度不同？

Question

我不是 DSP 专家，但我知道有两种方法可以将离散时域滤波器应用于离散时域波形。第一个是在时域中对它们进行卷积，第二个是对两者进行 FFT，将两个复频谱相乘，然后对结果进行 IFFT。这些方法的一个关键区别是第二种方法是循环卷积。

例如，如果滤波器和波形都是 N 点长，第一种方法（即卷积）会产生 N+N-1 点长的结果，其中该响应的前半部分是滤波器填充第二半是过滤器排空。要获得稳态响应，滤波器的点数必须少于要滤波的波形。

用第二种方法继续这个例子，假设离散时域波形数据都是实数（不是复数），滤波器的 FFT 和波形都产生 N 点长的 FFT。乘以两个频谱 IFFT'ing 结果会产生一个时域结果，也是 N 点长。这里过滤器填满和清空的响应在时域中相互重叠，并且没有稳态响应。这就是循环卷积的效果。为了避免这种情况，通常滤波器大小会小于波形大小，并且两者都将被补零，以便在两个频谱乘积的 IFFT 之后及时扩展频率卷积的空间。

我的问题是，我经常在文献中看到知名专家/公司的作品，他们有离散（真实）时域波形（N 个点），他们对其进行 FFT，将其乘以某个滤波器（也为 N点），并将结果IFFT用于后续处理。我天真的想法是这个结果不应该包含稳态响应，因此应该包含来自过滤器填充/清空的伪影，这会导致解释结果数据时出现错误，但我一定遗漏了一些东西。在什么情况下这是一种有效的方法？

任何见解将不胜感激

Answer 1

尽管假设矩形数据窗口在 FFT 孔径宽度处是周期性的会产生伪影，这是对没有足够零填充的圆形卷积所做的一种解释，但差异可能大到也可能不会大到足以淹没有问题的数据分析。

Answer 2

基本问题不在于零填充与假设的周期性，而是傅立叶分析将信号分解为正弦波，在最基本的层面上，假设其范围是无限的。 两种方法都是正确的，因为使用完整 FFT 的 IFFT 将返回准确的输入波形，而两种方法都不正确，因为使用少于完整的频谱会导致效果在边缘（通常会延伸几个波长）。唯一的区别在于你假设的细节填充了无穷大的其余部分，而不是你是否在做假设。

回到你的第一段：通常，在 DSP 中，我在使用 FFT 时遇到的最大问题是它们是非因果的，因此我通常更喜欢留在时域中，例如使用 FIR和 IIR 滤波器。

更新：

在问题陈述中，OP 正确指出了使用 FFT 过滤信号时可能出现的一些问题，例如边缘效应，在进行长度相当的卷积时可能会特别成问题（在时域）到采样波形。重要的是要注意，尽管并非所有过滤都是使用 FFT 完成的，并且 在 OP 引用的论文中，他们没有使用 FFT 过滤器，并且使用他们的方法不会出现 FFT 过滤器实现会出现的问题.

例如，考虑一个过滤器，它使用两种不同的实现来实现 128 个样本点的简单平均。

FFT：在 FFT/卷积方法中，我们将有一个样本，例如 256 个点，并将其与前半部分恒定并在后半部分变为零的 wfm 进行卷积一半。这里的问题是（即使在这个系统运行了几个周期之后），是什么决定了结果的第一个点的值？ FFT 假设 wfm 是循环的（即无限周期），因此：结果的第一个点由 wfm 的 last 127 个（即未来）样本确定（跳过中间wfm），或者如果您零填充，则为 127 个零。两者都不对。

FIR：另一种方法是使用 FIR 滤波器实现平均值。例如，这里可以使用 128 个寄存器 FIFO 队列中的值的平均值。也就是说，随着每个样本点的到来，1）将其放入队列中，2）将最旧的项目出列，3）对队列中剩余的所有 128 个项目进行平均；这是您对这个样本点的结果。这种方法连续运行，一次处理一个点，并在每个样本后返回过滤结果，并且在应用于有限样本块时不会出现 FFT 出现的问题。每个结果只是当前样本和之前的 127 个样本的平均值。

OP 引用的论文采用了一种更类似于 FIR 滤波器而不是 FFT 滤波器的方法（请注意，尽管论文中的滤波器更复杂，整篇论文基本上都是对该滤波器的分析。）见，例如，this free book 描述了如何分析和应用不同的滤波器，还请注意，分析 FIR 和 IIR 滤波器的拉普拉斯方法与引用论文中的方法非常相似。

Answer 3

我可以解释为什么在应用 FFT 之前应用“窗口化”的原因。

正如已经指出的那样，FFT 假设我们有一个无限信号。当我们在有限时间 T 内采样时，这在数学上相当于将信号乘以一个矩形函数。

时域的乘法变成频域的卷积。矩形的频率响应是同步函数，即 sin(x)/x。分子中的 x 是最重要的，因为它在 O(1/N) 的时间内消亡。

如果您的频率分量恰好是 1/T 的倍数，则这无关紧要，因为除了频率为 1 的频率之外，同步函数在所有点都为零。

但是，如果您有一个落在 2 个点之间的正弦波，您将看到在频率点上采样的同步函数。它就像同步功能的放大版本，由卷积引起的“鬼”信号以 1/N 或 6dB/倍频程衰减。如果您的信号高于本底噪声 60db，您将看不到主信号左右 1000 个频率的噪声，它会被同步功能的“裙子”淹没。

如果您使用不同的时间窗口，您会得到不同的频率响应，例如余弦以 1/x^2 衰减，有专门的窗口用于不同的测量。汉宁窗通常用作通用窗。

关键是在不应用任何“窗口函数”时使用的矩形窗口会产生比精心选择的窗口更糟糕的伪像。即通过“扭曲”时间样本，我们在频域中获得了更好的画面，更接近于“现实”，或者更确切地说是我们期望和想要看到的“现实”。

Answer 4

以下是 DFT（循环卷积）与线性卷积的无零填充卷积示例。这是长度为 M=32 的序列与长度为 L=128 的序列的卷积（使用 Numpy/Matplotlib）：

f = rand(32); g = rand(128)
h1 = convolve(f, g)
h2 = real(ifft(fft(f, 128)*fft(g)))
plot(h1); plot(h2,'r')
grid()

第一个 M-1 点是不同的，因为它不是零填充的，所以它短了 M-1 个点。如果您在进行块卷积，这些差异是一个问题，但是使用重叠和保存或重叠和添加等技术来克服这个问题。否则，如果您只是计算一次性过滤操作，则有效结果将从索引 M-1 开始，到索引 L-1 结束，长度为 L-M+1。

关于引用的论文，我在附录 A 中查看了他们的 MATLAB 代码。我认为他们在将 Hfinal 传递函数应用于负频率而不首先对其进行共轭时犯了一个错误。否则，您可以在他们的图表中看到时钟抖动是一个周期性信号，因此使用循环卷积可以很好地进行稳态分析。

编辑：关于共轭传递函数，PLL 具有实值脉冲响应，并且每个实值信号都具有共轭对称谱。在代码中，您可以看到他们只是使用 Hfinal[N-i] 来获得负频率而不采用共轭。我已经绘制了它们从 -50 MHz 到 50 MHz 的传递函数：

N = 150000                    # number of samples. Need >50k to get a good spectrum. 
res = 100e6/N                 # resolution of single freq point  
f = res * arange(-N/2, N/2)   # set the frequency sweep [-50MHz,50MHz), N points
s = 2j*pi*f                   # set the xfer function to complex radians 

f1 = 22e6       # define 3dB corner frequency for H1 
zeta1 = 0.54    # define peaking for H1 
f2 = 7e6        # define 3dB corner frequency for H2 
zeta2 = 0.54    # define peaking for H2    
f3 = 1.0e6      # define 3dB corner frequency for H3 

# w1 = natural frequency   
w1 = 2*pi*f1/((1 + 2*zeta1**2 + ((1 + 2*zeta1**2)**2 + 1)**0.5)**0.5)  
# H1 transfer function 
H1 = ((2*zeta1*w1*s + w1**2)/(s**2 + 2*zeta1*w1*s + w1**2))            

# w2 = natural frequency 
w2 = 2*pi*f2/((1 + 2*zeta2**2 + ((1 + 2*zeta2**2)**2 + 1)**0.5)**0.5)  
# H2 transfer function  
H2 = ((2*zeta2*w2*s + w2**2)/(s**2 + 2*zeta2*w2*s + w2**2))            

w3 = 2*pi*f3        # w3 = 3dB point for a single pole high pass function. 
H3 = s/(s+w3)       # the H3 xfer function is a high pass

Ht = 2*(H1-H2)*H3   # Final transfer based on the difference functions

subplot(311); plot(f, abs(Ht)); ylabel("abs")
subplot(312); plot(f, real(Ht)); ylabel("real")
subplot(313); plot(f, imag(Ht)); ylabel("imag")

如您所见，实部具有偶数对称性，虚部具有奇数对称性。在他们的代码中，他们只计算了对数图的正频率（足够合理）。然而，为了计算逆变换，他们通过索引 Hfinal[N-i] 使用负频率的正频率值，但忘记了共轭。