将欧拉转换为矩阵和矩阵转换为欧拉

Question

我正在尝试使用 .NET/C# 将用欧拉角描述的 3D 旋转转换为矩阵，然后再返回。我的约定是：

• 左手系统（x 右，y 上，z 向前）
• 旋转顺序：围绕 y 航向，围绕 x 俯仰，围绕 z 倾斜
• 使用左手定则旋转为正数（拇指指向+无穷大）

我的试验是：

欧拉到矩阵（为了简化，我删除了 x,y,z 转换部分）

Matrix3D matrix = new Matrix3D() {
    M11 =   cosH * cosB - sinH * sinP * sinB,
    M12 = - sinB * cosP,
    M13 =   sinH * cosB + cosH * sinP * sinB,
    M21 =   cosH * sinB + sinH * sinP * cosB,
    M22 =   cosB * cosP,
    M23 =   sinB * sinH - cosH * sinP * cosB,
    M31 = - sinH * cosP,
    M32 = - sinP,
    M33 =   cosH * cosP,
};

欧拉矩阵

const double RD_TO_DEG = 180 / Math.PI;            
double h, p, b; // angles in degrees

// extract pitch
double sinP = -matrix.M23;            
if (sinP >= 1) {
    p = 90; }       // pole
else if (sinP <= -1) {
    p = -90; } // pole
else {
    p = Math.Asin(sinP) * RD_TO_DEG; }             

// extract heading and bank
if (sinP < -0.9999 || sinP > 0.9999) { // account for small angle errors
    h = Math.Atan2(-matrix.M31, matrix.M11) * RD_TO_DEG;
    b = 0; }
else {
    h = Math.Atan2(matrix.M13, matrix.M33) * RD_TO_DEG;
    b = Math.Atan2(matrix.M21, matrix.M22) * RD_TO_DEG; }

一定是错的。如果我取 3 个角度，将它们转换为矩阵并将矩阵转换回角度，如果结果与初始值不同。

我浏览了几个具有不同公式的网站，从 euclideanspace.com 开始，但我现在完全迷路了，找不到正确的计算方法。我很感激一点帮助。船上有数学家吗？

Answer 1

首先，应该：

sinP = -matrix.M32

编辑：完整的解决方案如下

我的推导：

Rx(P)=| 1      0       0 |
      | 0  cos P  -sin P |
      | 0  sin P   cos P |

Ry(H)=|  cos H  0  sin H |
      |      0  1      0 |
      | -sin H  0  cos H |

Rz(B)=| cos B  -sin B  0 |
      | sin B   cos B  0 |
      |     0       0  1 |

乘以您的订单：

R = Ry(H)*Rx(P)*Rz(B)
  = | cos H*cos B+sin H*sin P*sin B  cos B*sin H*sin P-sin B*cos H  cos P*sin H |
    |                   cos P*sin B                    cos B*cos P       -sin P |
    | sin B*cos H*sin P-sin H*cos B  sin H*sin B+cos B*cos H*sin P  cos P*cos H |

这给出了反向推导：

棕褐色 B = M12/M22

罪 P = -M32

棕褐色 H = M31/M33

Answer 2

您的想法是错误的：“一定是错误的。如果我取 3 个角度，将它们转换为矩阵并将矩阵转换回角度，结果如果与初始值不同。”这本来会很美，但不一定是真的。通常，超过一个三元组的欧拉角（固定约定）导致空间中的相同方向。但这并不意味着在您的计算中没有错误。 来自维基百科：

"例如，假设我们使用上面的 zyz 约定；那么我们有以下等价对：

(90°, 45°, -105°) ≡ (-270°, -315°, 255°)   360° 的倍数

(72°, 0°, 0°) ≡ (40°, 0°, 32°)   奇异对齐

(45°, 60°, -30°) ≡ (-135°, -60°, 150°)   双稳态翻转 "

Answer 3

这些函数有大量的组合，因为答案会根据您的惯例而变化。我通常使用 DirectX 和与 Unity 相同的约定。另外，我的背景是飞行模拟、空间和地图，所以偏航然后俯仰然后滚动也匹配纬度/经度风格。

对约定不清楚或组合/分解功能不匹配可能会导致非常奇怪的错误。另外值得记住的是，多组欧拉角可以产生相同的方向。

约定（如上）：

• 欧拉角：X = Pitch，Y = Yaw，Z = Roll
• 欧拉顺序：应用旋转，偏航然后俯仰然后滚动
• 轴：+X 向右，+Y 向上，+Z 向前
• 矩阵：DirectX 约定（使用来自 MS DirectXTK 的 SimpleMath.h）

要转换为 OpenGL 版本，请查看 this。

我接受了Mike Tunnicliffe 的回答并将其转换为 C++ 代码并将其添加到我的库中。我希望其他人可以通过使用它来节省一些时间。

值得注意的是，compose 函数将第 4 列和平移组件清除为标识，并且 decompose 函数假定 3x3 旋转元素包含纯旋转（即没有缩放等）。

首先是从欧拉生成矩阵的代码：

//====================================================================================================
// MatrixFromYawPitchRoll
//
// Create matrix based on provided yaw (heading), pitch and roll (bank).
//
// Assumptions:
//  Euler:   X = Pitch, Y = Yaw, Z = Roll
//  Applied: Yaw then pitch then roll
//  Axes:    X = Right, Y = Up, Z = Forward
//  DirectX: Matrices are row major (http://www.mindcontrol.org/~hplus/graphics/matrix-layout.html)
//
// Code is based on Mike Tunnicliffe's answer to this question:
//   https://stackoverflow.com/questions/1996957/conversion-euler-to-matrix-and-matrix-to-euler
inline void MatrixFromYawPitchRoll(
    const DirectX::SimpleMath::Vector3& euler,
    DirectX::SimpleMath::Matrix&        mat)
{
    float cosY = cosf(euler.y);     // Yaw
    float sinY = sinf(euler.y);

    float cosP = cosf(euler.x);     // Pitch
    float sinP = sinf(euler.x);

    float cosR = cosf(euler.z);     // Roll
    float sinR = sinf(euler.z);

    mat = DirectX::SimpleMath::Matrix::Identity;
    mat._11 = cosY * cosR + sinY * sinP * sinR;
    mat._21 = cosR * sinY * sinP - sinR * cosY;
    mat._31 = cosP * sinY;

    mat._12 = cosP * sinR;
    mat._22 = cosR * cosP;
    mat._32 = -sinP;

    mat._13 = sinR * cosY * sinP - sinY * cosR;
    mat._23 = sinY * sinR + cosR * cosY * sinP;
    mat._33 = cosP * cosY;
}

然后代码从矩阵中取回欧拉角：

//====================================================================================================
// MatrixDecomposeYawPitchRoll
//
// Extract the rotation contained in the provided matrix as yaw (heading), pitch and roll (bank) in
// radiuans.
//
// Assumptions:
//  Euler:   X = Pitch, Y = Yaw, Z = Roll
//  Applied: Yaw then pitch then roll
//  Axes:    X = Right, Y = Up, Z = Forward
//  DirectX: Matrices are row major (http://www.mindcontrol.org/~hplus/graphics/matrix-layout.html)
//
// Code is based on Mike Tunnicliffe's answer to this question:
//   https://stackoverflow.com/questions/1996957/conversion-euler-to-matrix-and-matrix-to-euler
inline void MatrixDecomposeYawPitchRoll(
    const DirectX::SimpleMath::Matrix&  mat,
    DirectX::SimpleMath::Vector3&       euler)
{
    euler.x = asinf(-mat._32);                  // Pitch
    if (cosf(euler.x) > 0.0001)                 // Not at poles
    {
        euler.y = atan2f(mat._31, mat._33);     // Yaw
        euler.z = atan2f(mat._12, mat._22);     // Roll
    }
    else
    {
        euler.y = 0.0f;                         // Yaw
        euler.z = atan2f(-mat._21, mat._11);    // Roll
    }
}