如何使用 sympy 对未知函数 $f(x)$ 进行符号泰勒展开答案

【问题标题】：How to do a symbolic taylor expansion of an unknown function $f(x)$ using sympy如何使用 sympy 对未知函数 $f(x)$ 进行符号泰勒展开
【发布时间】：2016-04-01 17:14:29
【问题描述】：

在sage 中，对未知函数进行泰勒展开是相当容易的f(x),

x = var('x')
h = var('h')
f = function('f',x)
g1 = taylor(f,x,h,2)

如何在 sympy 中做到这一点？

更新

asmeurer 指出，这是一个很快就会在拉取请求 http://github.com/sympy/sympy/pull/1888 中提供的功能。我使用 pip 安装了分支，

pip install -e git+git@github.com:renatocoutinho/sympy.git@897b#egg=sympy --upgrade

但是，当我尝试计算 f(x) 的系列时，

x, h = symbols("x,h")
f = Function("f")
series(f,x,x+h)

我收到以下错误，

TypeError: 未绑定的方法 series() 必须使用 f 实例调用第一个参数（取而代之的是 Symbol 实例）

【问题讨论】：

你不能。只需使用循环和diff。该函数称为series 而不是taylor。
github.com/sympy/sympy/pull/1888 有一个拉取请求来完成这项工作。
@asmeurer 太棒了！这还没有合并到主分支中，是否仍然可以使用 pip 安装它。还是我需要克隆 repo，应用补丁，然后从源代码构建？
@asmeurer 我尝试使用 git apply 将github.com/sympy/sympy/pull/1888.patch 应用于 sympy 的最新主副本，但失败了。你有什么推荐的？
最简单的方法是在他的分支上工作，直到合并该拉取请求。

标签： python sympy

【解决方案1】：

正如@asmeurer 所述，现在可以使用

from sympy import init_printing, symbols, Function
init_printing()

x, h = symbols("x,h")
f = Function("f")

pprint(f(x).series(x, x0=h, n=3))

或

from sympy import series
pprint(series(f(x), x, x0=h, n=3))

两个都返回

                                              ⎛  2        ⎞│                          
                                            2 ⎜ d         ⎟│                          
                                    (-h + x) ⋅⎜────(f(ξ₁))⎟│                          
                                              ⎜   2       ⎟│                          
                ⎛ d        ⎞│                 ⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=h    ⎛        3       ⎞
f(h) + (-h + x)⋅⎜───(f(ξ₁))⎟│     + ──────────────────────────── + O⎝(-h + x) ; x → h⎠
                ⎝dξ₁       ⎠│ξ₁=h                2

如果你想要一个有限差分近似，你可以例如写

FW = f(x+h).series(x+h, x0=x0, n=3)
FW = FW.subs(x-x0,0)
pprint(FW)

得到前向近似，它返回

                                  ⎛  2        ⎞│
                                2 ⎜ d         ⎟│
                               h ⋅⎜────(f(ξ₁))⎟│
                                  ⎜   2       ⎟│
          ⎛ d        ⎞│           ⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=x₀    ⎛ 3    2        2    3                 ⎞
f(x₀) + h⋅⎜───(f(ξ₁))⎟│      + ────────────────────── + O⎝h  + h ⋅x + h⋅x  + x ; (h, x) → (0, 0)⎠
          ⎝dξ₁       ⎠│ξ₁=x₀             2

【讨论】：

【解决方案2】：

sympy 中没有这个功能，但是“手动”很容易做到：

In [3]: from sympy import *
        x, h = symbols('x, h')
        f = Function('f')
        sum(h**i/factorial(i) * f(x).diff(x, i) for i in range(4))

Out[3]: h**3*Derivative(f(x), x, x, x)/6 + h**2*Derivative(f(x), x, x)/2 + h*Derivative(f(x), x) + f(x)

请注意，sympy 通常适用于表达式（如 f(x)），而不适用于裸函数（如 f）。

【讨论】：