使用 sage 进行泰勒展开的非积分指数

Question

这是我的功能

var('h,r')
f=r^2*arccos((r-h)/r)-(r-h)*sqrt(2*r*h-h^2)

taylor(f,h,0,3)

结果：

-1/5*sqrt(2)*h^(5/2)/sqrt(r) + 4/3*sqrt(2)*h^(3/2)*sqrt(r)

我期望 ax^3+bx^2+cx+d 形式的表达式，但我得到 5/2 和 3/2 作为 h 的指数。这是为什么呢？

Answer 1

问题似乎分为两部分。

1. Maxima 中的程序比名称 (taylor) 所暗示的更为通用。 事实上，当泰勒级数不存在时，它会返回其他类型的级数。这包括 Laurent 级数（负指数）和非整数幂。例如，试试 taylor(sqrt(1/sin(x)),x,0,5)。

这可以通过将命令的名称更改为（比如）series() 来解决。尽管可能仍然存在命名问题，因为世界上还有其他类型的级数，并且您可能想要（比如说）某种渐近级数。

1. 原始海报和一些评论似乎表明，Maxima 应该遵循严格的纪律，只做命令性质指定的事情。如果系统不能执行命令的操作，它应该给出错误消息。这不是Maxima所做的。举一个非常简单的例子，如果你输入 f(3)，而 f 是未定义的，一些系统可能会说“错误，f 是未定义的”。 Maxima 返回 f(3)，因为在这种情况下，f(3) 是一个合理的结果，可能允许您继续进行。作为第二个例子，Maxima 不知道如何积分的某种形式的积分会产生一个带有积分符号的公式。不是“无法集成...”的错误。

一般性评论：如果您使用 Sage 仅访问 Maxima 中的设施，您可能会发现只使用 Maxima 很方便，这是一个具有自己的用户界面 wxmaxima 和绘图例程等的计算机代数系统。

Answer 2

这本质上是直接使用千里马，所以

(%i11) display2d: false;

(%o11) false
(%i12) f:r^2*acos((r-h)/r)-(r-h)*sqrt(2*r*h-h^2);

(%o12) r^2*acos((r-h)/r)-(r-h)*sqrt(2*h*r-h^2)
(%i13) taylor(f,h,0,3);

(%o13) 4*sqrt(r)*sqrt(2)*h^(3/2)/3-sqrt(r)*sqrt(2)*h^(5/2)/(5*r)

围绕其他点展开给出了我们的预期，所以我猜这是 Maxima 中的某种错误（或未记录的功能）。

(%i22) taylor(sqrt(x),x,0,5);

(%o22) +sqrt(x)
(%i23) powerseries(sqrt(x),x,0);

(%o23) sqrt(x)

也许他们喜欢Puiseux series？我已经在https://sourceforge.net/p/maxima/bugs/2850/

报告了这个

编辑：当然，存在平方根函数在零处表现不佳的问题！但我认为，人们仍然会期待别的东西。