Javascript椭圆点乘算法

Question

以下是椭圆曲线Point Multiplication 的实现，但它没有按预期工作（使用最近的 Chrome / Node with BigInt 进行说明）：

const bi0 = BigInt(0)
const bi1 = BigInt(1)
const bi2 = BigInt(2)
const bi3 = BigInt(3)

const absMod = (n, p) => n < bi0 ? (n % p) + p : n % p

export function pointAdd (xp, yp, xq, yq, p) {
  const lambda = (yq - yp) / (xq - xp)
  const x = absMod(lambda ** bi2 - xp - xq, p)
  const y = absMod(lambda * (xp - x) - yp, p)
  return { x, y }
}

export function pointDouble (xp, yp, a, p) {
  const numer = bi3 * xp ** bi2 + a
  const denom = (bi2 * yp) ** (p - bi2)
  const lambda = (numer * denom) % p
  const x = absMod(lambda ** bi2 - bi2 * xp, p)
  const y = absMod(lambda * (xp - x) - yp, p)
  return { x, y }
}

export function pointMultiply (d, xp, yp, a, p) {
  const add = (xp, yp, { x, y }) => pointAdd(xp, yp, x, y, p)
  const double = (x, y) => pointDouble(x, y, a, p)
  const recur = ({ x, y }, n) => {
    if (n === bi0) { return { x: bi0, y: bi0 } }
    if (n === bi1) { return { x, y } }
    if (n % bi2 === bi1) { return add(x, y, recur({ x, y }, n - bi1)) }
    return recur(double(x, y), n / bi2)
  }
  return recur({ x: xp, y: yp }, d)
}

给定一个带有属性的known curve，以上在 P2 - P5 点上成功，但在 P6 以后开始失败：

const p = BigInt('17')
const a = BigInt('2')
const p1 = { x: BigInt(5), y: BigInt(1) }

const d = BigInt(6)
const p6 = pointMultiply(d, p1.x, p1.y, a, p)
p6.x === BigInt(16) // incorrect value of 8 was returned
p6.y === BigInt(13) // incorrect value of 14 was returned

已知曲线有值：

P   X    Y
—————————— 
1   5    1
2   6    3
3  10    6
4   3    1
5   9   16
6  16   13
7   0    6
8  13    7
9   7    6
10  7   11

我不确定是我误解了算法还是我在实现中犯了错误。

Answer 1

我不太了解javascript，所以代码让我很困惑。但是……

在函数pointAdd 和其他任何地方，“除法”必须在mod p 中完成。您显然在pointDouble 中正确地执行了此操作，但在pointAdd 中却没有。在pointAdd 中，使用相同的模式：而不是

const lambda = (yq - yp) / (xq - xp)

做

const numer = yq - yp
const denom = (xq - xp) ** (p - bi2)
const lambda = (numer * denom) % p

虽然我认为简单地使用模块化逆函数而不是在您需要的任何地方计算 X^p-2 会更清晰，更不容易出错。