第一章极限与函数-part I 极限

part I 极限

一、定义

1.极限

($(\varepsilon-N)\frac{1}{n \to \infty }a_n=A $) :若 $\forall\varepsilon>0,\exists N>0$,

当 $n>N$ 时， $|a_n-A|<\varepsilon$ (两者间的误差小于e，是自由的可任意取)

称A为 {$a_n$}的极限，记为$\lim_{n \to \infty }{a_n}=A$

如：$\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n}=2$ .

$\forall \varepsilon > 0. |\frac{2n+1}{n}-2|=\frac{1}{n} < \varepsilon$

$\iff n>\frac{1}{\varepsilon}$ 取 $N=[\frac{1}{\varepsilon}] > 0$

当 $n>N$ 时，$n>\frac{1}{\varepsilon}$ 即 $|\frac{2n+1}{n}-2|=\frac{1}{n} < \varepsilon$
($(\varepsilon-\delta)\lim_{x \to a }f(x)=A $) :若 $\forall\varepsilon>0,\exists \delta>0$,

当 $0<|x-a|<\delta$ 时， $|f(x)-A|<\varepsilon$ (两者间的误差小于e，是自由的可任

称A为 $f(x)$当$x \to a$的极限，记为$\lim_{x \to a}{f(x)}=A$

注：

\[\tag 1 x \to a =\begin{cases} x \not = a \\ x \to a^-,x \to a^+ \end{cases}\ \\ \]

\[\tag 2 0<|x-a|<\delta \\ \iff x \in (a-\delta,a) \cup (a,a+\delta) \\ \iff U^\circ (a,\delta) 称为a的\delta 去心邻域 \\ \]

\[\tag3 \lim_{x \to a}f(x)与f(x)在x=a处定义无关 \]

如：

\[\lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x \to 1}(x+1)=2 \]

\[左极限：若 \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\\ 当a-\delta<x<a,(或 x \in (a-\delta,a))时，|f(x)-A|<\varepsilon.\\ 称A为f(x)在x=a处左极限，记f(a-0).\\ 右极限：若 \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\\ 当a+\delta>x>a,(或 x \in (a,a+\delta))时，|f(x)-B|<\varepsilon.\\ 称B为f(x)在x=a处右极限，记f(a+0). \]

\[\tag4 \lim_{x\to a}f(x)存在 \iff f(a-0),f(a+0)存在且相等 \]

(5).

\[f(x)中含\begin{cases}a^{? \over x-b} \\ a^{? \over b-x} \end{cases}当x \to b 时,一定分左右极限 \]

例1：$\lim_{x \to 1}\frac{2-e^{1 \over x-1}}{1+e^{1 \over x-1}}$

解：$x \to 1^- \Rightarrow x-1 \to 0^- \Rightarrow {1 \over x-1} \to -\infty $

则$ e^{1 \over x-1} \to 0 \Rightarrow f(1-0) =2$ ;

$x \to 1^+ \Rightarrow x-1 \to 0^+ \Rightarrow {1 \over x-1} \to +\infty $

则$ e^{1 \over x-1} \to +\infty \Rightarrow f(1+0) =-1$ ;

$\because f(1-0) \not = f(1+0)$ .

$\therefore \lim_{x \to 1}\frac{2-e^{1 \over x-1}}{1+e^{1 \over x-1}} $ 不存在

$(\varepsilon-\delta)\lim_{x \to a }f(x)=A ,\space\space x \to \infty , x \to +\infty$ (+-无穷)

若 $\forall\varepsilon>0,\exists X>0$,当$x>X$时， $|f(x)-A|<\varepsilon$

称A为 $f(x)$当$x \to +\infty$的极限，记为$\lim_{x \to a}{f(x)}=A$

2.无穷小

定义：

若$\lim_{x\to a} \alpha(x)=0$,称$\alpha(x)为当x\to a$时的无穷小，注：特征1:必须是函数，特征2：以0为极限

例：$3(x-1)^2$当$x\to 1$时为无穷小

例：0是无穷小（常数函数0当$x\to 0$时为无穷小）
层次：

$\alpha \to 0,\beta\to0$

$Case1:\lim{\beta \over \alpha}=0$则，$\beta$ 称为 $\alpha$ 的高阶无穷小，记为$\beta=\circ(\alpha)$;

$Case2:\lim{\beta \over \alpha}=k(\not =0,\infty)$,称$\beta$ 与 $\alpha$ 为同阶无穷小，记为$\beta=O(\alpha)$;

当$\lim{\beta \over \alpha}=1$,称$\beta$ 与 $\alpha$ 为等价无穷小，记为$\beta\sim\alpha$;

例：$\alpha=3x^2+x^4,(x\to0)$,a算2阶无穷小，阶数越高越次要，第一阶4

二、极限的性质

（一）一般性质

1.（唯一性）极限存在定理

2.（保号性）$\lim_{x\to a}f(x)=A>0(<0)$,则存在$\exists\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)>0(<0)$,

if 极限正 then 去心邻域=正;//口诀
if 极限负 then 去心邻域=负;

\[证明：设A>0，取\varepsilon={A \over 2}>0{(几分之A都行，不能大于A)}\\ \because \lim_{x \to a}f(x)=A \\ \therefore \exists\delta>0.当0<|x-a|<\delta时，\\ |f(x)-A|<\frac{A}{2} \\ \iff \frac{A}{2}<f(x)<\frac{3}{2}A \\ \Rightarrow f(x)>\frac{A}{2}>0 \\ 当A<0时，取\varepsilon=-\frac{A}{2}>0 \\ \exists \delta>0,当0<|x-a|<\delta时 \\ |f(x)-A|<-\frac{A}{2} \iff \frac{3}{2}A<f(x)<{A \over 2} \Rightarrow f(x)<{A \over 2}<0 \]

例1.$f\'(1)=0.\lim_{x\to1}\frac{f\'(x)}{(x-1)^3}=2.$ 问$x=1$是否为极值点。

解：$\lim_{x\to1}\frac{f\'(x)}{(x-1)^3}=2>0$

$\exists \delta>0$,当$0<|x-1|<\delta$时，$\frac{f\'(x)}{(x-1)^3}>0$ .

$x \in (1-\delta,1)时，f\'(x)<0$.

$x\in (1,1+\delta)时，f\'(x)>0$.

$\Rightarrow x=1$为极小点.

(二)存在性质

准则I：单调有界的数列必有极限（有界：有上下界）

注：

$Case1:{a_n} \uparrow$

无上界，则$\lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty$.

有上界，即$\exist M>0,a_n\le M\Rightarrow\lim_{n\to+\infty}a_n$存在.如$a_n=1-{1\over(n+1)}$.
$Case2:a_n\downarrow$

无下界，则$\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$.

有下界，即$\exist M,a_n\ge M\Rightarrow\lim_{n\to\infty}a_n$存在.
{$a_n$}单调性证明方法有：

方法1：数学归纳法（一般不用）

例1：$a_1=\sqrt2,a_2=\sqrt{2+\sqrt2},a_3=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}},$

证明：$\lim_{n\to\infty}a_n$存在

证：$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$. $a_1<a_2$.

设$a_k<a_{k+1}\Rightarrow \sqrt{2+a_k}<\sqrt{2+a_{k+1}}$

即$a_{k+1}<a_{k+2}$

$\therefore \forall n,有a_n<a_{a+1}$即{$a_n$}$\uparrow$

现证 $a_n\le2$.

$a_1=\sqrt2\le2$. 设$a_k\le2$.

$a_{k+1}=\sqrt{2+a_k}\le\sqrt{2+2}=2$.

$\therefore \forall n,有 a_n\le2 \therefore \lim_{n\to\infty}a_n 存在 $. //2为$A=\sqrt{2+A}$的解

方法2: $a_{n+1}-a_n$ 判断大于等于0还是小于等于0

例2.$a_1=2,a_{n+1}={1\over2}(a_n+{1\over a_n})$

证明：$\lim_{n\to \infty}a_n存在$

证：$a_{n+1}={1\over2}(a_n+{1\over a_n})\ge 1$ $\forall n,有 a_n \ge 1$

$a_{n+1}-a_n = {1\over2}(a_n+{1\over a_n})-a_n\\=\frac{1-a_n^2}{2a_n}\le0$

$\Rightarrow a_{n+1}\le a_n \Rightarrow a_n \downarrow$

$\therefore \lim_{n\to\infty}a_n$存在

准则II:夹逼定理

数列型： $a_n \le b_n\le c_n\\ \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=A$

$\Rightarrow \lim_{n\to\infty}b_n=A$.
函数型：$f(x)\le g(x)\le h(x)\\ \lim f(x)=\lim h(x)=A$

$\Rightarrow \lim g(x)=A$

例1 $\lim_{n\to \infty}({1\over n^2+1}+{2\over n^2+2}+\cdots+{n\over n^2+n})$.

解：${1+2+\cdots+n\over n^2+n}\le {1\over n^2+1}+\cdots+{n\over n^2+n} \le {1+2+\cdots+n\over n^2+1}$

//左边分母变最大，右边分母边最小，分子不动

$\lim左={1\over2}$

$\lim右={1\over2}\lim_{n\to\infty}{n^2+n\over n^2+1}={1\over2}$ //上下同除n^2

$\therefore 原式={1\over2}$.

(三)运算性质

1.四则(前提极限必须有)

$\lim f(x)=A,\lim g(x) =B$

$\lim[f(x) \pm g(x)]=A\pm B$.
$\lim f(x)g(x) = AB$.
$\lim {f(x)\over g(x)}=\frac{A}{B}(B\not = 0)$.

(四)无穷小性质.

1.一般性质

$\alpha\to0,\beta\to0,\Rightarrow$ $\alpha\pm\beta\to0\\\alpha\beta\to0\\M\alpha\to0$
$|f(x)|\le M,\alpha\to0\Rightarrow\alpha f(x)\to0$

如：$\lim_{x\to0}x^2\sin{1\over x}=0$

2.等价性质

$\alpha\sim\alpha;\alpha\sim\beta\Rightarrow\beta\sim\alpha;\alpha\sim\beta,\beta\sim\gamma\Rightarrow\alpha\sim\gamma$
$\alpha\sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1,且\lim{\beta_1\over\alpha_1}=A$

$\lim{\beta\over\alpha}=A$.

3.$x\to0$时：

$x\sim\sin x\sim\tan x\sim \arcsin x \sim\arctan x \ \sim e^x-1\sim\ln(1+x) $
$1-\cos x\sim{1\over2}x^2$ ;
$(1+x)^a-1\sim ax$;

三、重要极限

$\sin x<x<\tan x \space (0<x<{\pi\over2})$

1594870717294

$\ln(1+x)<x,(x>0)\\\sin x \le x,(x\ge0)$

(I) $\lim_{\Delta\to0}{\sin \Delta \over\Delta}=1$

(II) $\lim_{\Delta\to0}(1+ \Delta)^{1\over \Delta}=e$