导数与定积分初步

导数初步

一、平均变化率

给定函数f(x)，则其平均变化率为

二、平均变化率的极限（瞬时变化率）

平均变化率的极限为

此时我们称该式为f(x)的导函数，记作

f(x)是f\'(x)原函数，也称f(x)为f\'(x)的不定积分

 

三、常用函数的导函数

 

 四、导数的运算法则

加法法则

 

 减法法则

 

 乘法法则

 

 除法法则

 

 

定积分初步

 一、定义

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (x_n-1,x_n]，其中x₀=a，x_n=b。可知各区间的长度依次是：△x₁=x₁-x_0，在每个子区间(x_i-1,x_i]中任取一点ξ_i（1,2,...,n），作和式

。该和式叫做积分和，设λ=max{△x₁, △x₂, …, △x_n}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为

，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法：

 二、性质初步

1、当a=b时，

2、当a>b时，

3、常数可以提到积分号前。

4、代数和的积分等于积分的代数和。

5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有

又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件。

6、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则

 

 三、微积分基本定理

 

 

 其中F‘(x)=f(x)