0.前言
\(\quad\)在微积分底层基础中就提到过原函数的作用，但是没提到怎么求解原函数，在本会重点描述。
1.原函数与不定积分的概念
一些 定理：
- 设在区间 \(I\) 上，函数 \(F(x)\) 可导且满足 \(F\'(x)=f(x)\) ，或 \(dF(x)=f(x)dx\) ，则称 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上的一个原函数。
- （原函数存在定理）如果函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，那么 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，那么 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上一定有原函数。
- 设 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上的一个原函数，则：
- \(F(x)+C\) 也是 \(f(x)\) 在 区间 \(I\) 上的原函数，其中 \(C\) 为任意常数
- \(f(x)\) 的任意两个原函数之间，相差一个常数
- 函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上的全体函数称为 \(f(x)\) 在 \(I\) 上的不定积分，记为 \(\int f(x)dx\)，其中 \(\int\) 称为积分号，\(f(x)\) 称为被积函数，\(f(x)dx\) 为被积表达式，\(x\) 为积分变量。
2.基本积分公式
一些 公式：
\[\begin{aligned}
&\int 0dx=C\\
&\int kdx=kx+C\\
&\int x^ydx=\frac{x^{y+1}}{y+1}+C,y\neq-1\\
&\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C\\
&\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctan(x)+C=-arccot(x)+C \\
&\int \frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}=arcsin(x)+C=-arccos(x)+C\\
&\int cos(x)dx=sin(x)+C\\
&\int sin(x)dx=-cosx+C\\
&\int \frac{dx}{cos^2(x)}=\int sec^2 xdx=tan(x)+C\\
&\int csc(x)cot(x)xdx=-csc(x)+C\\
&\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}+C\\
&\int e^xdx=e^x+C\\
&\int 2xdx=x^2+C
\end{aligned}
\]
3.不定积分的线性运算法则
定理：
\(\quad\)设在区间 \(I\) 上，函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的原函数都存在，则在区间 \(I\) 上：
\[\begin{aligned}
&\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx\\
&\int kf(x)dx=k\int f(x)dx,(k\neq 0)
\end{aligned}
\]