1、仿射集和凸集
1.1 仿射集相关概念
仿射（affine）定义：对于集合 ，如果通过集合C中任意两个不同点之间的直线仍在集合C中，则称集合C为仿射（affine）。
也就是说，C包括了在C中任意两点的线性组合，即：
这个概念可以推广到n个点，即 ，其中
。也称为仿射组合。
仿射集（affine set）定义：仿射集包含了集合内点的所有仿射组合。若C是仿射集， ，
，则点
也属于C.
仿射包（affine hull）的定义：仿射包是包含C的最小的仿射集，表示为：
1.2 凸集的相关概念
凸（convex）的定义：对于集合 ，如果通过集合C中任意两个不同点之间的线段仍在集合C中，则称集合C为凸（convex）。
注：所有仿射集都是凸的，因为它包含集合中任意不同点的所有直线
凸组合：的点，其中
和
，则称点
的凸组合。
凸组合与仿射组合的区别：在凸组合中，参数 必须大于等于0。
凸集（convex set）：该集合包含了所有点的凸组合。
凸包（convex hull）：最小的凸集，表示为：
注：1）凸包总是凸的
2）若B是凸集并且包含C，则
在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包着所有点的橡皮圈
1.3、锥
锥（cone）的定义：若对于任意 和
，有
，则称为锥。如果集合C既是凸也是锥，则称为凸锥。
锥组合：的点，其中
，则称为锥组合。也称为非负线性组合。
若在凸锥C中，则
的所有凸组合在C中；相反，集合C为凸锥，当且仅当它包含了所有元素的凸组合。
锥包（cone hull）：集合C中所有锥组合的集合，也是包含C的最小凸锥。即
2、例子
空集、点、整个空间都是仿射（affine），因此也是凸（convex）
任意线是仿射（affine），若过原点，则为凸锥（convex cone）
线段是凸（convex），但不是仿射
形式如 的射线是凸，但不是仿射
任意子空间是仿射和凸锥
超平面是仿射集（affine set）
半平面是凸集（convex set）
球体和椭圆体是凸集
Norm ball 和norm cone是凸锥
多面体（polyhedra）是凸集
参考文献：convex optimization[Stephen Boyd]