锥，凸锥，二阶锥，二阶锥规划

优化理论稍微深入些，就会涉及到锥这个概念，甚至还有专门的锥优化这个研究领域。我一直很奇怪锥到底是什么，准备查阅相关资料，将自己的理解写到博客里面。

1. 锥（cone）

• 对于一个向量空间 V$V$ 与它的一个子集 C$C$，如果子集 C$C$ 中的任意一点 x$x$ 与 任意正数 a$a$， 其乘积 ax$ax$ 仍然属于子集 C$C$， 则称 C$C$ 为一个锥。

若向量空间为3维，满足定义的图像确实像一个锥，我猜这应该是它叫锥的原因。

根据定义，一个锥总是无界的。

2. 凸锥（convex cone）

• 若一个锥 C$C$ 中任意两点 x$x$ 与 y$y$，以及任意两个正数 a$a$ 与 b$b$， 都有 ax+by$ax+by$ 属于 C$C$， 则该锥为凸锥。

显然上图也是一个凸锥。根据定义，凸锥的范围比凸集更大，因为它没有要求 a+b=1$a+b=1$.
是否存在一个不是凸锥的锥？典型的例子：

y=|x|$$y=|x|$$

一个点 （-2， 2）， 另一个点 （1，1）， 它们的和 （-1, 3）不在图形里。它的图形：

但是 y≥|x|$y\ge |x|$ 就是一个凸锥

3. 标准锥（norm cone）

一个 n 维标准锥是满足下列条件的集合：

C={(x,t)∣∥x∥≤t,x∈Rn−1,t∈R}$$C=\left\{(x,t)\mid \Vert x\Vert \le t,x\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{n}\mathbb{-}\mathbb{1}},t\in \mathbb{R}\right\}$$

标准锥是一个凸锥。（标准锥里面的变量不仅包括 x$x$，还包括 t$t$.）

4. 二阶锥（second order cone）

二阶锥规划是一种非常特殊的非线性优化，有非常高效的求解算法，非常有必要了解一下什么是二阶锥。所谓二阶是指锥里面用到的是二范数，下面的表达式表示一个二阶锥。

∥Ax+b∥2≤cTx+d$$\Vert Ax+b{\Vert }_2\le c^{T}x+d$$

二阶锥相当于对标准锥 C={(x,t)∣∥x∥2≤t,t≥0}$C=\{(x,t)\mid \Vert x{\Vert }_2\le t,t\ge 0\}$ 做了一个仿射变换：

∥Ax+b∥2≤cTx+d⟺(Ax+b,cTx+d)∈C$$\Vert Ax+b{\Vert }_2\le c^{T}x+d⟺(Ax+b,c^{T}x+d)\in C$$

根据仿射变换的性质，变换后凹凸性不变，因此二阶锥仍然是一个凸锥。
注：对向量 x$x$ 仿射变换(相当于将一个图形平移，或变大变小，或旋转，或倒影）：y=Ax+b$y=Ax+b$，其中 Ax$Ax$ 表示对 x$x$ 变大或变小或旋转倒影，而 +b$+b$ 表示平移。

5. 二阶锥规划（second order cone programming，SOCP）

很多问题都可以转化为二阶锥规划来求解，而二阶锥规划能够使用内点法很快求解。

5.1 二次凸规划

二次规划可以转化为二阶锥规划。一个二次凸规划表达式，：

XTAX+qTx+c≤0$$X^{T}AX+q^{T}x+c\le 0$$

转化成下面的二阶锥：

∥∥∥A1/2x+12A−1/2q∥∥∥2≤−14qTA−q−c$${\Vert A^{1/2}x+\frac{1}{2}{A}^{-1/2}q\Vert }^2\le -\frac{1}{4}{q}^T{A}^{-}q-c$$

就能使用二阶锥规划求解了。