矩阵论基础 1.4 行列式的性质

第四节 行列式的性质

行列式有如下7条性质

n阶行列式：

，若把D的行变为列得到新行列式如下

，行列式D^T (或D′)称为行列式D的转置行列式.

注意:转置行列式也可以看作以主对角线为轴,行列式翻转180°的结果.

性质1 行列式D=D^T

证明: ,

应用数学归纳法,当n=2时,结论显然成立,即

假设n-1时结论成立,即n-1阶行列式与它的转置行列式相等,将n阶行列式D按第一行展开,有

将n阶行列式D^T按第一列展开,有

所以n阶行列式D=D^T

由行列式的性质1可以看出,行列式的行和列的地位相同,行所具有的性质对于列也成立,反之亦然.

性质2 若行列式中有某一行(或列)为零,则这个行列式的值等于零.

说明:把行列式按此行(或列)展开即可.

性质3 行列式中任何两行(或两列)互换位置, 行列式的值变号.

证明: ,第一行与第三行互换位置后,行列式变为

将D按第一行展开,得

将D₁按第三行展开,得

此性质对于n阶行列式也成立.

推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式等于零.

说明:交换这两行(列)行列式D化为D₁,由性质2知,-D=D₁,由于交换的两行(列)相同,故

D=D₁,因此,-D=D,D=0

性质4 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数λ, 等于用数λ乘此行列式.反之, 行列式的某一行(列)中所有的元素有公因数,则可以把这个公因数从行列式中提出来,即

说明:上面两个行列式若按第i行展开,结果是相同的.

推论:行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零.

性质5 若行列式的某一行(列)的每个元素都是两个数之和, 例如第i行的元素都是两数之和: 即

,

则D等于下列两个行列式之和:

.

说明:记三个行列式为D,D₁,D₂,则

性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去, 行列式不变. 即

.

说明:性质5和性质4可得性质6,这个性质在行列式的计算中非常重要.

性质7 行列式每一行(或列)的每个元素与另一行(或列)对应元素的代数余子式的乘积的和等于零,即

说明: n阶行列式按第j行展开,

于是得下面结论 , 或

在处理和计算行列式时,常用上述7条性质,为了表达简洁,引入下列记号

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

例如,

例9 计算行列式

解:利用行列式的性质,把D化为相等的上(下)三角行列式,再写出结果,这是计算行列式的常用方法.

说明:

(1)利用性质6,先把a₁₁下面的所有元素化为零;

(2) 再把a₂₂下面的所有元素化为零;

(3)重复操作,直到化为三角行列式为止;

(4)对于列也可以采用同样的处理方法,化为其它类型的三角行列式,再求值.

求行列式的值时,常用的方法还有按某行(列)展开,达到降阶的目的,从而化简行列式,直到求出结果为止.

例10 计算行列式

解:

要善于用两种方法求行列式的值:

1.化为三角行列式(四种结果)

2.按某一行(列)展开(选零较多的行(列)).

例11 计算行列式

解:因第一列与第三列对应元素成比例,所以D=0.

例12 计算行列式

解:

例13 计算行列式

解:D₁中每行提出公因子(-1),得

所以D₁=0

D₂按第一行展开,得

例14 计算行列式

解:

同理可得

例15 计算三阶Vandermonde行列式

解:

同理可得n阶Vandermonde行列式

例16 计算（m+n）阶零块行列式

解：记，

对|A|作若干次r_i+λr_j操作，化为下三角行列式，设为

对|B|作若干次c_i+λc_j操作，化为下三角行列式，设为

把对|A|的操作全部施于D的前n行，再把对|B|的操作全部施于D的后m列，得

同理可知以下三个零块行列式的值

（1）

（2）

注：

（3）

说明：1.(2)中行列式D可化为下三角行列式,利用前面的结论,可推得

2. 四种结果要牢记.