矩阵论基础 1.1 二阶和三阶行列式

第一节 二阶和三阶行列式

在介绍行列式概念之前，我们先构造一个数学玩具：把4个数放在一个正方形的四个角上，在加上两条竖线，即，规定这个玩具对应于一个结果：两个对角线上的数的乘积之差。即

例如

所在方向的对角线称为主对角线，所在方向的对角线称为副对角线。

定义1 4个数称为一个二阶行列式；所在的行称为第一行，记为（r来源于英文row），所在的列称为第二列，记为（c来源于英文column），因其共有两行两列，所以称为二阶行列式，是第二行第一列的元素。

一般地用表示第i行第j列的元素，i是行标，j是列标。

可叙述为：二阶行列式的对应值等于主对角线上两元素之积减去的副对角线上二元素之积所得的差, 这一计算法则称为对角线法则.

此玩具的用途在于：

求解方程组

用消元法，先消去所在的项，方程(2)´a₁₁，方程(1)´a₂₁得

（3）-（4），得

再消去所在的项，方程(2)´a₁₂，方程(1)´a₂₂得

（5）-（6），得

我们发现其规律为：若记是方程组的系数行列式，

则是用常数项替代D中的第一列所得的行列式；

是用常数项替代D中的第二列所得的行列式。

若D≠0，方程组的恰好是：,

此规律被称为Cramer定理。

例1 求解二元线性方程组

解：,

,

,

因此 , .

同理类推，用对角线法则可以定义3阶行列式如下：

其中来自三条主对角线上三个元素的乘积，前面加正号；

来自三条副对角线上三个元素的乘积，前面加负号。

例2 计算3阶行列式

解：D=1×2×2+3×1×1+3×1×（-1）-1×2×3-（-1）×1×1-2×1×3=-7

D₁=6×2×2+4×1×1+11×1×（-1）-1×2×11-（-1）×1×6-2×1×4=-7

D₂=1×4×2+3×11×1+3×6×（-1）-1×4×3-（-1）×11×1-2×6×3=-14

D₃=1×2×11+3×1×6+3×1×4-6×2×3-4×1×1-11×1×3=--21

实际上，D，D₁，D₂，D₃来自线性方程组