矩阵论基础 1.3 n阶行列式

第三节 n阶行列式

画n条水平的直线，再画n条铅直的直线，有n²个交叉点，每个交叉点上填上一个数，这样构成n²个数组成的数表。

定义2 由n行，n列共n²个数组成的数表，用下列符号来记

特别规定：当n=1时，一阶行列式D=|a₁₁|= a₁₁

当n≥2时，

其中A_ij为元素a_ij的代数余子式.

我们称为n阶行列式。

注意：n阶行列式最终是一个数值。

例5 求四阶行列式的值

解：按第一行展开

例6 计算下三角行列式（对角线以上的元素全为0）

及

解：连续按第一行展开

注意：这种下三角行列式的值为主对角线上所有元素之积。此结论以后作公式用

其中的3+n可用n+1或n-1代替，用n-1代替n+3，即

注意：这种下三角行列式的值为副对角线上所有元素之积，再乘以，此结论以后也作公式用

在n阶行列式中，所有的行与列地位相同，因此，与三阶行列式一样，n阶行列式也可以按任一行或任一列展开。结果如下：

定理2 n阶行列式等于它的任一行（或任一列）的每个元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即

或

例7 计算行列式

解：第四列零元素较多，可按第四列展开

例8 计算上三角行列式（对角线以下的元素全为0）

解：连续按第一列展开

先后按第n行，第n-1行，第n-2行，…第二行，第一行展开

由上面的结论知：D₁与D₃的值为主对角线上所有元素之积；

D₂与D₄的值为副对角线上所有元素之积，再乘以.