第十五章 虚位移原理 3

例15．6 已知：桁架结构如图15.10（a）所示,D节点作用集中力，求：1 2 杆的内力。

解：1 求1杆的内力

解除1杆的约束，加力，，，主动力系

任给系统一组虚位移，如图15.10（b）所示。

虚位移原理：， （a）

虚位移关系 =6 （b）

将式（b）代入式（a），有

是独立的。 得 其中 sin

2, 求2杆内力

解除杆约束，加力

主动力系（）

任给系统一组虚位移，如图15.10（c）所示。

虚位移原理：

是独立的，得

六、以广义坐标表示的质点系的平衡条件

1．一般系统

设质点系中质点的位矢与广义坐标的函数关系为

将上式变分，得 （a）

将式（a）代入虚位移原理 （），有

交换求和顺序，有 （b）

令 （c）称为对应于广义坐标的广义力或

（d）

式（b）变为

对于完整约束系统,广义坐标的变分，具有完整、双面、稳定理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要与充分条件是，对应于每个广义坐标的广义力等于零。

2．保守系统

设对应于有势力的势能函数为，则有

，， （e）

将式（e）代入式（d），有

系统的总势能函数，有

保守系统的平衡条件为

3．求广义力的几种方法

1）解析法：按定义求，即

2）几何法：由广义力表示的平衡条件

即

令

令

3）若主动力均为有势力，写出势函数V，利用式

求

例15．7 已知：如图15.11（a）所示，均质杆OA和AB长度为和，重量为和，在杆AB的B端作用一水平力，在图示位置平衡。求：平衡时两杆的位置？

解：研究对象：整体

选广义坐标 主动力系

1． 用解析法求解 坐标如图15.11（a）所示

；

写各力作用点坐标，并对广义坐标求偏导数

求广义力

令 解得

2．用几何法求解

令 （图15.11（b））

虚位移关系：

广义力求

代入虚位移关系，有

令 （图15.11（c））

虚位移关系：

求广义力

代入虎位移关系，有

令 可得

3． 、、均为有势力。力的等势面为铅直平面

系统的的势能函数为

求广义力

与前2种情况求得、相同

例15．9 已知：如图15。12所示为滑轮系统，设A、B、C物各重为、、，不计轮重。

求：使系统平衡时，重物C的重量及重物A与水平面间的滑动磨擦系数。

解：研究对象：整体

选广义坐标和，主动力系

用几何法求解

令 此时

广义力

令 此时

广义力

令 解得

力求磨擦系数，需求，解除水平面约束，加，令

而得

因此平衡时,A物与平台的磨擦系数为