线性代数：第一章 多项式1

§1 数域

关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.

定义1 设是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么就称为一个数域.

显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q、R、C来代表.全体整数组成的集合就不是数域.

如果数的集合中任意两个数作某一种运算的结果都仍在中，就说数集对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么就称为一个数域.

例1 所有具有形式

的数（其中是任何有理数），构成一个数域.通常用来表示这个数域.

例2 所有可以表成形式

的数组成一数域，其中为任意非负整数，是整数.

例3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的.

性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.

 

 

 

 

§2 一元多项式

一、一元多项式

定义2 设是一非负整数，形式表达式

, (1)

其中全属于数域，称为系数在数域中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.

在多项式（1）中，称为次项，称为次项的系数.以后用或等来表示多项式.

注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.

定义3 如果在多项式与中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么与就称为相等，记为.

系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.

在（1）中，如果，那么称为多项式（1）的首项，称为首项系数，称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式的次数记为.

二、多项式的运算

设

是数域上两个多项式，那么可以写成

在表示多项式与的和时，如，为了方便起见，在中令，那么与的和为

而与的乘积为

其中次项的系数是

所以可表成

.

显然，数域上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域上的多项式.

对于多项式的加减法，不难看出

.

对于多项式的乘法，可以证明，若，则，并且

由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.

显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.

多项式的运算满足以下的一些规律：

1. 加法交换律：.

2. 加法结合律：

3. 乘法交换律：.

4. 乘法结合律：

5. 乘法对加法的分配律：

6. 乘法消去律：若且，则.

定义4 所有系数在数域中的一元多项式的全体，称为数域上的一元多项式环，记为，称为的系数域.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3 整除的概念

在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.

一、整除的概念

带余除法 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使

(1)

成立，其中或者，并且这样的是唯一决定的.

带余除法中所得的通常称为除的商，称为除的余式.

定义5 数域上的多项式称为整除，如果有数域上的多项式使等式

成立.用""表示整除，用""表示不能整除.

当时，就称为的因式，称为的倍式.

当时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.

定理1 对于数域上的任意两个多项式，，其中，的充要条件是除的余式为零.

带余除法中必须不为零.但中，可以为零.这时.

当时，如，除的商有时也用

来表示.

二、整除的性质

1. 任一多项式一定整除它自身.

2. 任一多项式都能整除零多项式0.

3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.

4. 若，则,其中为非零常数.

5. 若，则（整除的传递性）.

6. 若，则

,

其中是数域上任意的多项式.

通常，称为的一个组合.

由以上性质可以看出，与它的任一个非零常数倍有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，常常可以用来代替.

最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若，是中两个多项式，是包含的一个较大的数域.当然，，也可以看成是中的多项式.从带余除法可以看出，不论把，看成是中或者是中的多项式，用去除所得的商式及余式都是一样的.因此，若在中不能整除，则在中，也不能整除.

例1 证明若，则

例2 求，使 .

例3 若，则.

§4 多项式的最大公因式

一 、多项式的最大公因式

如果多项式既是的因式，又是的因式，那么就称为与的一个公因式.

定义6 设与是中两个多项式. 中多项式称为，的一个公因式,如果它满足下面两个条件：

1）是与的公因式；

2），的公因式全是的因式.

例如，对于任意多项式，就是与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.

引理 如果有等式

(1)

成立，那么，和，有相同的公因式.

定理2 对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使

. (2)

由最大公因式的定义不难看出，如果是，的两个最大公因式，那么一定有与，也就是说.这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用

（，）

来表示首项系数是1的那个最大公因式.

定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm).

例 设

求（，），并求使

.

注：定理2的逆不成立.例如令

,

则

.

但显然不是与的最大公因式.

但是当(2)式成立，而是与的一个公因式，则一定是与的一个最大公因式.

二、多项式互素

定义7 中两个多项式，称为互素（也称为互质）的，如果

显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.

定理3 中两个多项式，互素的充要条件是有中多项式使

.

定理4 如果，且,那么

.

推论1 如果，且,那么

.

推论2 如果,,那么

推广：对于任意多个多项式，称为的一个最大公因式，如果具有下面的性质：

1）;

2）如果，那么.

我们仍用符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明的最大公因式存在，而且当全不为零时，

就是的最大公因式，即

=

同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式,使

如果，那么就称为互素的.同样有类似定理3的结论.

注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例如,但,且.

2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.如,,

,则,但.

注意:个多项式互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式

是互素的,但.

令是含的一个数域, 是的多项式与在中的首项系数为1的最大公因式,而是与在中首项系数为1的最大公因式,那么.

即从数域过渡到数域时, 与的最大公因式本质上没有改变.

互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：

1)若多项式与

互素，则.

2) 若多项式都整除，且两两互素，则.

3) 若多项式都与互素，则

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5 因式分解定理

一、不可约多项式

.

定义8 数域上次数的多项式称为域上的不可约多项式(irreducible polynomical)，如果它不能表成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积.

根据定义，一次多项式总是不可约多项式.

一个多项式是否可约是依赖于系数域的.

显然，不可约多项式的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数的多项式一定是不可约的.由此可知，不可约多项式与任一多项式之间只可能有两种关系，或者或者.

定理5 如果是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式，由一定推出或者.

推广：如果不可约多项式整除一些多项式的乘积，那么一定整除这些多项式之中的一个.

二、因式分解定理

因式分解及唯一性定理 数域上次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式

,

那么必有，并且适当排列因式的次序后有

.

其中是一些非零常数.

应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.

在多项式的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是的分解式成为

,

其中是的首项系数，是不同的首项系数为1的不可约多项式，而是正整数.这种分解式称为标准分解式.

如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式与的最大公因式就是那些同时在与的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在与中所带的方幂中较小的一个.

由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.

若与的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则与互素.

注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下，没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域上一个多项式是否可约一般都是很困难的.

例 在有理数域上分解多项式为不可约多项式的乘积.