高等代数 线性映射(第9章) 不变子空间,最小多项式

一.线性变换的不变子空间与$Hamilton-Cayley$Hamilton−Cayley定理

1.不变子空间
(1)概念:

(2)性质与判定:

命题1:$V$V上线性变换$Ꭿ$Ꭿ的核与象,$Ꭿ$Ꭿ的特征子空间都是$Ꭿ-$Ꭿ−子空间

命题2:设$Ꭿ,ℬ$Ꭿ,B都是$V$V上的线性变换,如果$Ꭿ,ℬ$Ꭿ,B可交换,那么$Ker\,ℬ,Im\,ℬ,ℬ$KerB,ImB,B的特征子空间都是$Ꭿ-$Ꭿ−子空间

推论1:设$Ꭿ$Ꭿ是域$F$F上线性空间$V$V上的线性变换,$f(x)∈F[x]$f(x)∈F[x],则$Ker\,f(Ꭿ),Im\,f(Ꭿ),f(Ꭿ)$Kerf(Ꭿ),Imf(Ꭿ),f(Ꭿ)的特征子空间都是$Ꭿ-$Ꭿ−子空间

命题3:$V$V上线性变换$Ꭿ$Ꭿ的不变子空间的和与交仍是$Ꭿ$Ꭿ的不变子空间

命题4:设$Ꭿ$Ꭿ是域$F$F上线性空间$V$V上的1个线性变换,$W=<α_1,α_2...α_s>$W=<α1​,α2​...αs​>是$V$V的1个子空间,则$W$W是$Ꭿ-$Ꭿ−子空间当且仅当$Ꭿα_i∈W\,(i=1,2...s)$Ꭿαi​∈W(i=1,2...s)

命题5:设$Ꭿ$Ꭿ是域$F$F上线性空间$V$V上的1个线性变换,$\xi∈V$ξ∈V且$\xi≠0$ξ​=0,则$<\xi>$<ξ>是$Ꭿ-$Ꭿ−子空间当且仅当$\xi$ξ是$Ꭿ$Ꭿ的1个特征向量

(3)将线性变换限制到不变子空间或其商空间上:


2.用不变子空间研究线性变换的矩阵表示:

定理1:设$\mathcal{A}$A是域$F$F上$n$n维线性空间$V$V上的1个线性变换,$W$W是$\mathcal{A}$A的1个非平凡的不变子空间$W$W中取1个基$α_1...α_r$α1​...αr​,把它扩充成$V$V的1个基$α_1...α_r,α_{r+1}...α_n$α1​...αr​,αr+1​...αn​,则$\mathcal{A}$A在此基下的矩阵$A$A为1个分块上三角矩阵$A=\left[\begin{matrix}A_1&A_3\\0&A_2\end{matrix}\right]$A=[A1​0​A3​A2​​]其中$A_1$A1​是$\mathcal{A}\,|\,W$A∣W在$W$W的1个基$α_1...α_r$α1​...αr​下的矩阵,$A_2$A2​是$\mathcal{A}$A诱导的商空间$V/W$V/W上的线性变换$\tilde{\mathcal{A}}$A~在$V/W$V/W的1个基$α_{r+1}+W...α_n+W$αr+1​+W...αn​+W下的矩阵;设$\mathcal{A},\mathcal{A}\,|\,W,\tilde{\mathcal{A}}$A,A∣W,A~的特征多项式分别为$f(λ),f_1(λ),f_2(λ)$f(λ),f1​(λ),f2​(λ),则$f(λ)=f_1(λ)f_2(λ)$f(λ)=f1​(λ)f2​(λ)

定理2:设$\mathcal{A}$A是域$F$F上$n$n维线性空间$V$V上的1个线性变换,如果$\mathcal{A}$A在$V$V的1个基$α_1...α_r,α_{r+1}...α_n$α1​...αr​,αr+1​...αn​下的矩阵$A$A为分块上三角矩阵$A=\left[\begin{matrix}A_1&A_3\\0&A_2\end{matrix}\right]$A=[A1​0​A3​A2​​]令$W=<α_1...α_r>$W=<α1​...αr​>,那么$W$W是$\mathcal{A}$A的1个非平凡不变子空间,且$\mathcal{A}\,|\,W$A∣W在$W$W的1个基$α_1...α_r$α1​...αr​下的矩阵是$A_1$A1​

3.线性变换和矩阵的零化多项式,$Hamilton-Cayley$Hamilton−Cayley定理