一、理论知识
-
\(mex\)函数定义
对于集合\(S\),\(mex(S)=mex(\{x1,x2…\})\)表示\(S\)中没有出现的最小非负整数。
例如:\(S=\{0,1,2,4\}\),那么\(Mex(S)=3\)。
-
\(sg\)函数定义
\(sg(n)=mex(\{sg(i_1),sg(i_2),sg(i_3)...\})\)。 \(n\)为结点；\(i_1,i_2,i_3\)…是\(n\)的后继结点。 -
规定
\(sg(G)=sg(head)\)。 \(G\)是一个有向图,\(head\)是\(G\)的头结点。 -
结论
\(sg(G1)\) ^ \(sg(G2)\) ^ \(sg(G3)\) ^ \(…\) ^ \(sg(Gn)\)为\(n\)个有向图的异或和,对于\(n\)个有向图游戏,这个异或和就是它的答案。
二、实例解析
\(SG\)函数是解决博弈论问题的一把利器。
\(SG\)函数复用的原因
四、完整代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
const int M = 10010;
int n, k;
int s[N]; //一共几种取法，比如一次取2个或5个。
int f[M]; //SG函数的值
int res;
//记忆化搜索来做,保证每个状态只被算一次
int sg(int x) {
//记忆化搜索
if (f[x] != -1) return f[x];
//当前状态下，可以到的所有状态
unordered_set<int> S;
//遍历每一个可能的数字
for (int i = 0; i < k; i++)
if (x >= s[i]) S.insert(sg(x - s[i]));
//找出集合中不存在的这个自然数
for (int i = 0;; i++)
if (!S.count(i))
return f[x] = i;
}
int main() {
//优化输入
ios::sync_with_stdio(false);
//初始化数组值为-1
memset(f, -1, sizeof f);
cin >> k; //表示数字集合 S 中数字的个数
for (int i = 0; i < k; i++) cin >> s[i];
cin >> n;//一共几堆
//n堆石子，每堆石子都取SG值，然后异或在一起
for (int i = 0; i < n; i++) {
int x;
cin >> x; //每堆里多少个
res ^= sg(x);
}
if (res) puts("Yes"); //如果不是零，必胜
else puts("No"); //如果是零，必败
return 0;
}