台阶-Nim游戏
一、结论
如果奇数阶台阶的石子个数异或值不是零，则先手必胜。
如果奇数阶台阶的石子个数异或值是零， 则先手必败。
二、策略
-
如果对手是从奇数阶台阶拿石子
\(a_1\) ^ \(a_3\) ^ ... ^ \(a_n=x\)
(1) \(x\neq0\) 一定存在某种方式，使得剩余石子的异或值变成零。
(2) \(x=0\) 不管怎么拿，剩余的石子异或值肯定不为零。
-
如果对手是从偶数阶台阶拿石子
我就把对手拿的个数，顺次放到下一级台阶上，比如，对手从\(4\)阶台阶拿\(2\)个石子到\(3\)阶台阶，我们就从\(3\)阶台阶，把这\(2\)个石子拿到\(2\)阶上。效果就是奇数阶台阶的石子个数没有改变。这样奇数阶台阶的异或值还是一样的，没有改变。
因此无论后手如何移动，先手总能通过操作把奇数异或为\(0\)的情况留给后手，当奇数台阶全为\(0\)时，只留下偶数台阶上有石子。
核心就是：先手总是把奇数台阶异或为\(0\)的状态留给对面，即总是将必败态交给对面。
因为偶数台阶上的石子要想移动到地面，必然需要经过偶数次移动，又因为奇数台阶全\(0\)的情况是留给后手的，因此先手总是可以将石子移动到地面，当将最后一个（堆）石子移动到地面时，后手无法操作，即后手失败。
因此如果先手时奇数台阶上的值的异或值为非\(0\)，则先手必胜，反之必败！
三、代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int res;
int main() {
//优化输入
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x;
cin >> x;
if (i % 2) res ^= x;
}
if (res) puts("Yes");
else puts("No");
return 0;
}