T1 [JZOJ1385] 直角三角形
题目描述
二维平面坐标系中有 $N$ 个位置不同的点。
从 $N$ 个点选择 $3$ 个点，问有多少选法使得这 $3$ 个点形成直角三角形。
数据范围
$3 \leq N \leq 1500$
分析
再一次考场上正解写挂（怎么AC的一堆都是暴力卡常吸氧??）
我们可以先枚举直角顶点，并求出其他点与该点连成的直线的斜率，再按斜率将点排序
众所周知，两条相互垂直的直线斜率之积为 $-1$，所以两条垂直直线斜率一定异号（竖直和水平的直线特殊考虑）
然后把斜率大于 $0$ 的点从大到小加入队列，再从大到小枚举斜率小于等于 $0$ 的点
如果队首斜率与该点斜率之积小于 $-1$，那么它与后面将枚举的点也一定无法形成直角三角形，所以将其出队
如果队首斜率与该点斜率之积大于 $-1$，那么该点与队列后面的点也一定无法形成直角三角形，所以直接判断下一个点
这样时间复杂度就降至 $O(n^2 \, log \, n)$
注意精度，$eps$ 尽量设小一点
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <queue> using namespace std; #define ll long long #define inf 2000000001.0 #define eps 1e-15 #define N 1505 int n, ans; struct Point { int x, y; double k; } p[N], q[N]; bool cmp(Point a, Point b) { return a.k > b.k; } double getk(Point a, Point b) { if (a.x == b.x) return inf; if (a.y == b.y) return 0; return (double)(b.y - a.y) / (b.x - a.x); } double Abs(double a) { if (a < 0) return -a; return a; } int main() { scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y); for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j < i; j++) q[j] = p[j]; for (int j = i; j < n; j++) q[j] = p[j + 1]; for (int j = 1; j < n; j++) q[j].k = getk(p[i], q[j]); sort(q + 1, q + n, cmp); queue<int> qu; int now = 0, last; while (q[++now].k > 0 && now < n) qu.push(now); for (; now < n; now++) { if (Abs(q[now].k - q[now - 1].k) < eps) { ans += last; continue; } last = 0; while (!qu.empty()) { int temp = qu.front(); if (q[now].k == 0) { if (q[temp].k == inf) qu.pop(), last++; else break; } else { double mul = q[now].k * q[temp].k; if (Abs(mul + 1) < eps) qu.pop(), last++; else if (mul + 1 < 0) qu.pop(); else break; } } ans += last; } } printf("%d", ans); return 0; }