T1 [JZOJ6309] 完全背包
题目描述
数据范围
分析
首先显然可以把体积大价值小，或者相同体积中价值较小的物品舍弃
然后有这样一个定理，在 $n$ 个整数中一定存在若干个整数之和为 $n$ 的倍数
证明就是在所有前缀和（包括第 $0$ 项）中，必定存在两个前缀和模 $n$ 的余数相等，所以这两个数之间的区间和（前开后闭）是 $n$ 的倍数
设 $s$ 为性价比最高的物品中 $a_i$ 最小的物品，$x$ 为最优情况下非 $s$ 物品的种类
当 $x \geq a_s$ 时，可以将若干个 $a_i$ 之和为 $a_s$ 倍数的物品用 $s$ 替换，此时结果一定不会更劣
所以一定存在 $x < a_s$ 的最优方案，这 $x$ 个物品的 $a_i$ 之和一定不会超过 $100a_s$
这样我们就可以先取 $\lfloor \frac{m}{a_s} \rfloor - 100$ 个 $s$ 物品，再在剩下的空间里做多重背包
#include <algorithm> #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> #include <queue> #include <set> using namespace std; #define ll long long #define inf 0x3f3f3f3f #define N 1000005 int n, tot, last; ll m, f[N]; struct Data { int a, b; } w[N], v[N]; bool cmp(Data x, Data y) { if (x.a != y.a) return x.a < y.a; return x.b > y.b; } int main() { scanf("%d%lld", &n, &m); for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &w[i].a, &w[i].b); sort(w + 1, w + n + 1, cmp); for (int i = 1; i <= n; i++) if (w[i].b > last) last = w[i].b, v[++tot] = w[i]; Data best = v[1]; for (int i = 2; i <= tot; i++) if (best.a * v[i].b > v[i].a * best.b) best = v[i]; ll t = m / best.a - 100; ll ans = t * best.b; m -= t * best.a; for (int i = 1; i <= tot; i++) for (int j = v[i].a; j <= m; j++) f[j] = max(f[j], f[j - v[i].a] + v[i].b); printf("%lld\n", ans + f[m]); return 0; }