矩阵正定、负定、半正定、半负定

矩阵正定

对于实对称矩阵\(M_{n\times n}\)正定<=>非任意零实系数向量z，\(z^TMz\)>0

对于埃尔米特矩阵（复数共轭对称矩阵）\(M_{n\times n}\)正定<=>对于任意非零复数向量z，\(z^*Mz>0\)

等价条件

1. 矩阵\(M\)的所有特征值都是正的；
2. 顺序主子式大于零

矩阵负定、半定、不定

\(M\)为\(n\times n\)埃尔米特阵，\(z^*\)表示向量z的共轭转置

负定

对于矩阵\(M_{n\times n}\),对于所有非零向量z， \(z^*Mz<0\);

半正定

对于所有非零向量z， \(z^*Mz\geq 0\);

半负定

对于所有非零向量z， \(z^*Mz\leq 0\);

不定

既不半正定也不半负定

conclusion

1. 正定负定是相对于对称矩阵、埃尔米特阵来说的；