半正定矩阵

1.【定义】给定一个大小为$n$nx$n$n的实对称矩阵A,若对于任意长度为$n$n的向量$x$x,有$x^{T}Ax \geq 0$xTAx≥0恒成立，则矩阵A是一个半正定矩阵。
半正定矩阵包含正定矩阵（正定矩阵是$x^{T}Ax > 0$xTAx>0）

2.【几何解释】若给定一个正定矩阵A∈$R^{nxn}$Rnxn和一个非零向量$x$x∈$R^{n}$Rn,则两者相乘得到的向量$y=Ax$y=Ax∈$R^{n}$Rn与向量的夹角恒小于或等于$\frac{\pi}{2}$2π​

3.协方差矩阵是半正定的
对于任意多元随机变量$t$t,协方差矩阵为c=E[($t-\overline{t}$t−t )($t-\overline{t})^{T}$t−t)T],给定任意一个向量$x$x,则