我们需要了解的第一个概念是共轭转置定义为[1]:
这一定义也可以写作：
其中是矩阵A的转置，表示对矩阵A中的元素取复共轭。
通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置：
例：
若
则
如果一个矩阵的共轭转置等于其自身，称为Hermitian matrix，即埃尔米特矩阵
我们可以进一步分析，对于A的对角线元素，如果存在复数a+bi，取转置后不变，然后再取共轭就变成了a-bi。与原矩阵不相等。所以Hermitian matrix的对角线元素一定是实数。
如果矩阵A的转置的共轭等于自身，而一个矩阵的转置的转置也等于自身，所以此时矩阵的共轭等于矩阵的转置，即，所以Hermitian matrix一定是共轭对称的。
在Hermitian matrix 的基础上加上整数限制就变成了正定矩阵（正数-确定-矩阵）
（1）一个n × n的实对称矩阵 M 是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有 zTMz > 0。其中zT 表示z的转置。
（2）对于复数的情况，定义则为：一个n × n的埃尔米特矩阵 M 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z，都有z*Mz > 0。其中z* 表示z的共轭转置。由于 M 是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的复向量z，z*Mz必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。
对n × n 的埃尔米特矩阵 M，下列性质与“M为正定矩阵”等价：
1. 矩阵M的所有的特征值 λi都是正的。
4. M的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式：
M左上角1× 1的矩阵
M左上角2× 2矩阵
...
M自身。
5. 存在唯一的下三角矩阵 L，其主对角线上的元素全是正的，使得：
M = LL * .
其中L * 是L的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。
对于实对称矩阵，只需将上述性质中的 改为 ，将“共轭转置”改为“转置”就可以了。
注：本文的绝大部分内容从wikipedia摘录