数学物理方法-第一节

向量的概念

向量的定义：有方向和大小的一种量， u ⃗ 、 v ⃗ \vec {u}、\vec {v} u 、v ， ∣ u ∣ \left | u \right | ∣u∣， ∣ v ∣ \left | v \right | ∣v∣称为向量的模

向量的运算根据平行四边形法则和右手螺旋法则，这里就不再赘述了。

Schwarz不等式： ( A ⋅ B ) 2 ≤ ∣ A ∣ 2 ∣ B ∣ 2 (A\cdot B)^{2}\leq \left | A \right |^{2} \left | B \right |^{2} (A⋅B)2≤∣A∣2∣B∣2

R 3 R^{3} R3空间，即三维欧式空间

R 3 R^{3} R3空间中的每一个点都是一个位置向量，用 r ⃗ = x e x ⃗ + y e y ⃗ + z e z ⃗ \vec{r}=x\vec{e_{x}}+y\vec{e_{y}}+z\vec{e_{z}} r =xex​ ​+yey​ ​+zez​ ​来表征，或者 r ⃗ = ( x , y , z ) \vec{r}=(x,y,z) r =(x,y,z)

Einstein求和约定：

A ⃗ = A 1 e 1 ⃗ + A 2 e 2 ⃗ + A 3 e 3 ⃗ \vec{A}=A_{1}\vec{e_{1}}+A_{2}\vec{e_{2}}+A_{3}\vec{e_{3}} A =A1​e1​ ​+A2​e2​ ​+A3​e3​ ​

B ⃗ = B 1 e 1 ⃗ + B 2 e 2 ⃗ + B 3 e 3 ⃗ \vec{B}=B_{1}\vec{e_{1}}+B_{2}\vec{e_{2}}+B_{3}\vec{e_{3}} B =B1​e1​ ​+B2​e2​ ​+B3​e3​ ​

如果按照向量的运算， A ⃗ ⋅ B ⃗ \vec{A}\cdot\vec{B} A ⋅B 、 A ⃗ × B ⃗ \vec{A}\times\vec{B} A ×B 应该是这样的：

A ⃗ ⋅ B ⃗ = ∣ A ⃗ ∣ ∣ B ⃗ ∣ c o s θ \vec{A}\cdot\vec{B}=\left | \vec{A} \right |\left | \vec{B} \right |cos\theta A ⋅B =∣∣∣​A ∣∣∣​∣∣∣​B ∣∣∣​cosθ

A ⃗ × B ⃗ = e ⃗ ∣ A ⃗ ∣ ∣ B ⃗ ∣ s i n θ \vec{A}\times\vec{B}=\vec{e}\left | \vec{A} \right |\left | \vec{B} \right |sin\theta A ×B =e ∣∣∣​A ∣∣∣​∣∣∣​B ∣∣∣​sinθ

e ⃗ \vec{e} e 为单位向量，模为1，方向可为任意方向

现在我们引入Einstein求和约定，可以进一步简化数学算式：

A ⃗ = A i e i ⃗ ( i = 1 , 2 , 3 ) = ∑ i = 1 3 A i e i ⃗ = A 1 e 1 ⃗ + A 2 e 2 ⃗ + A 3 e 3 ⃗ \vec{A}=A_{i}\vec{e_{i}}(i=1,2,3)=\sum_{i=1}^{3}A_{i}\vec{e_{i}}=A_{1}\vec{e_{1}}+A_{2}\vec{e_{2}}+A_{3}\vec{e_{3}} A =Ai​ei​ ​(i=1,2,3)=∑i=13​Ai​ei​ ​=A1​e1​ ​+A2​e2​ ​+A3​e3​ ​

B ⃗ = B j e j ⃗ ( j = 1 , 2 , 3 ) = ∑ j = 1 3 B j e j ⃗ = B 1 e 1 ⃗ + B 2 e 2 ⃗ + B 3 e 3 ⃗ \vec{B}=B_{j}\vec{e_{j}}(j=1,2,3)=\sum_{j=1}^{3}B_{j}\vec{e_{j}}=B_{1}\vec{e_{1}}+B_{2}\vec{e_{2}}+B_{3}\vec{e_{3}} B =Bj​ej​ ​(j=1,2,3)=∑j=13​Bj​ej​ ​=B1​e1​ ​+B2​e2​ ​+B3​e3​ ​

向量的标量积： e i ⃗ ⋅ e i ⃗ = 1 , e i ⃗ ⋅ e j ⃗ = 0 \vec{e_{i}}\cdot\vec{e_{i}}=1,\vec{e_{i}}\cdot\vec{e_{j}}=0 ei​ ​⋅ei​ ​=1,ei​ ​⋅ej​ ​=0

同一代数项中见到两个重复指标，就自动求和（除非特别指出该指标不自动求和），称求和指标，也叫“哑”标
规定：任一代数项中求和指标不能超过两个

A ⃗ ⋅ B ⃗ = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = ∑ i = 1 3 A i B i \vec{A}\cdot\vec{B}=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}=\sum_{i=1}^{3}A_{i}B{i} A ⋅B =A1​B1​+A2​B2​+A3​B3​=∑i=13​Ai​Bi

如果继续引入Kronecher delta符号 δ i j \delta_{ij} δij​

δ i j = { 0 , i ≠ j 1 , i = j = e i ⃗ ⋅ e j ⃗ , ( i , j = 1 , 2 , 3 ) \delta_{ij}= \left\{\begin{matrix} 0&, &i \neq j\\ 1&, &i=j \end{matrix}\right.=\vec{e_{i}}\cdot\vec{e_{j}},(i,j=1,2,3) δij​={01​,,​i​=ji=j​=ei​ ​⋅ej​ ​,(i,j=1,2,3)

A ⃗ ⋅ B ⃗ = A i B j δ i j = A i B j \vec{A}\cdot\vec{B}=A_{i}B_{j}\delta_{ij}=A_{i}B_{j} A ⋅B =Ai​Bj​δij​=Ai​Bj​

向量的向量积： e i ⃗ × e i ⃗ = 0 , e 1 ⃗ × e 2 ⃗ = e 3 ⃗ , e 2 ⃗ × e 3 ⃗ = e 1 ⃗ , e 3 ⃗ × e 1 ⃗ = e 2 ⃗ \vec{e_{i}}\times\vec{e_{i}}=0,\vec{e_{1}}\times\vec{e_{2}}=\vec{e_{3}},\vec{e_{2}}\times\vec{e_{3}}=\vec{e_{1}},\vec{e_{3}}\times\vec{e_{1}}=\vec{e_{2}} ei​ ​×ei​ ​=0,e1​ ​×e2​ ​=e3​ ​,e2​ ​×e3​ ​=e1​ ​,e3​ ​×e1​ ​=e2​ ​

A ⃗ × B ⃗ = ( A 1 e 1 ⃗ + A 2 e 2 ⃗ + A 3 e 3 ⃗ ) × ( B 1 e 1 ⃗ + B 2 e 2 ⃗ + B 3 e 3 ⃗ ) \vec{A}\times\vec{B}=(A_{1}\vec{e_{1}}+A_{2}\vec{e_{2}}+A_{3}\vec{e_{3}})\times(B_{1}\vec{e_{1}}+B_{2}\vec{e_{2}}+B_{3}\vec{e_{3}}) A ×B =(A1​e1​ ​+A2​e2​ ​+A3​e3​ ​)×(B1​e1​ ​+B2​e2​ ​+B3​e3​ ​)

如果引入三阶单位全反对称张量

ε i , j , k = { 1 , i , j , k = 123 , 231 , 312 − 1 , i , j , k = 132 , 213 , 321 0 , i , j , k 中 有 两 个 相 同 。 \varepsilon_{i,j,k}=\left\{\begin{matrix} 1 &, &i,j,k=123,231,312\\ -1&, &i,j,k=132,213,321\\ 0 &, &i,j,k中有两个相同。\\ \end{matrix}\right. εi,j,k​=⎩⎨⎧​1−10​,,,​i,j,k=123,231,312i,j,k=132,213,321i,j,k中有两个相同。​

A ⃗ × B ⃗ = ( A 2 B 3 − A 3 B 2 ) e 1 ⃗ + ( A 3 B 1 − A 1 B 3 ) e 2 ⃗ + ( A 1 B 2 − A 2 B 1 ) e 3 ⃗ \vec{A}\times\vec{B}=(A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2})\vec{e_{1}}+(A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3})\vec{e_{2}}+(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1})\vec{e_{3}} A ×B =(A2​B3​−A3​B2​)e1​ ​+(A3​B1​−A1​B3​)e2​ ​+(A1​B2​−A2​B1​)e3​ ​

A ⃗ × B ⃗ = ∣ e 1 ⃗ e 2 ⃗ e 3 ⃗ A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 ∣ = e i ⃗ ε i , j , k A j B k \vec{A}\times\vec{B}=\begin{vmatrix} \vec{e_{1}}& \vec{e_{2}} & \vec{e_{3}} \\ A_{1}&A_{2} &A_{3} \\ B_{1}& B_{2} & B_{3} \end{vmatrix}=\vec{e_{i}}\varepsilon_{i,j,k}A_{j}B_{k} A ×B =∣∣∣∣∣∣​e1​ ​A1​B1​​e2​ ​A2​B2​​e3​ ​A3​B3​​∣∣∣∣∣∣​=ei​ ​εi,j,k​Aj​Bk​

任何一个三阶行列式都可以用Levi-Civita符号简单表示出来

Δ = ∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ = ε i , j , k a i b j c k \Delta=\begin{vmatrix} a_{1}&a_{2} &a_{3} \\ b_{1}&b_{2} &b_{3} \\ c_{1}&c_{2} &c_{3} \end{vmatrix}=\varepsilon_{i,j,k}a_{i}b_{j}c_{k} Δ=∣∣∣∣∣∣​a1​b1​c1​​a2​b2​c2​​a3​b3​c3​​∣∣∣∣∣∣​=εi,j,k​ai​bj​ck​

同理，单位全反对称张量可以推广到n维线性空间中！

R 3 R^{3} R3空间的向量分析

为研究标量场、向量场、张量场的空间分布及其变化，需要引入空间的分析运算，即 ▽ \triangledown ▽

▽ = e i ⃗ ∂ i , ∂ i = ∂ ∂ x i \triangledown=\vec{e_{i}}\partial_{i},\partial_{i}=\frac{\partial}{\partial x_{i}} ▽=ei​ ​∂i​,∂i​=∂xi​∂​

标量场的梯度

如果 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)可微，则沿曲线 x = g ( t ) , y = h ( t ) x=g(t),y=h(t) x=g(t),y=h(t)对于 t t t的变化率：

d f d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} dtdf​=∂x∂f​dtdx​+∂y∂f​dtdy​

对于任意点 P 0 ( x 0 , y 0 ) = P 0 ( g ( t 0 ) , h ( t 0 ) ) P_{0}(x_{0},y_{0})=P_{0}(g(t_{0}),h(t_{0})) P0​(x0​,y0​)=P0​(g(t0​),h(t0​))， d f d t \frac{df}{dt} dtdf​是区域内沿方向 u ⃗ \vec{u} u ， f f f对于距离的变化率，我们称之为方向导数（ f f f沿方向 u ⃗ \vec{u} u 的变化率是 C C C在点 P P P的切线的斜率）