多元函数的几何应用
向量值函数
将函数值化为n维向量。一元数量函数的推广为一元向量值函数。
终端曲线：向量的终点的轨迹。（感觉是数量函数的图形）也称为向量值函数的图形
包括极限、求导、连续在内的定义与数量函数相似
几何意义
例如已知关于t的运动轨迹，其一阶求导的切向量切向量为速度向量，二阶求导为加速度向量。
空间曲线的切线和法平面
先求导向量，将导向量作为方向向量，利用点向式方程求得切线，与切线垂直的平面即为法平面
另外两种形式
曲面的的切平面和法线
当然有特殊情况：z=f(x,y)，此时构造新的函数F(x,y,z)=f(x,y)-z，不同的是fz(x,y,z)的值恒为-1，如下所示
并且给出方向余弦的表达
方向导数
个人理解的几何意义
偏导数：函数在某点处延坐标轴正向,随着该自变量的变化,而引起的函数值的变化率.
方向导数：函数在某点的任一方向上,随着该自变量的变化,而引起的函数值的变化率.
当方向导数的方向是沿坐标轴时，其值与偏导数相同
梯度
- 当梯度和方向向量的角度θ=0°，即两者方向相同时，函数f(x,y)增加最快。函数在这个方向的方向导数达到最大值，为梯度的模
- 当梯度和方向向量的角度θ=180°，即两者方向相反时，函数f(x,y)减小最快。函数在这个方向的方向导数达到最小值，为梯度的模的负数
- 当梯度和方向向量的角度θ=90°，即两者方向正交时，函数f(x,y)变化率为0。函数在这个方向的方向导数为0
实际上，对于梯度的理解可以类似地看成地理中的等高线。沿某一方面高度的变化就是该方向的梯度。自然是沿垂直等高线的方向高度增加或减少最快（对应1，2），沿着等高线高度不变（对应3）。
数量场和向量场
对于空间G内，任意一点M都有一个确定的数量f(M)，那么在这个空间G内就确定了一个数量场，如温度场、密度场
如果每点M确定的f(M)是向量F(M)，则称在空间G内确定了一个向量场，如力场、速度场
如果向量场F(M)是某个数量函数的梯度，则称该数量函数是向量场F(M)的势函数，称向量场为势场
任意一个向量场并不一定都是势场