1.向量值函数的定义：
a. 数集
到 三维欧氏空间
的映射
, 称为一元向量值函数
b. 记作：
c. D 称为向量值函数 f 的定义域，t 被称为自变量，r 称为因变量 。
d. 一元向量值函数 与 一元数量值函数：前者是后者的推广，现在自变量 t 依然是实数值 ，因变量 r 不再取实数而是取值 n维向量
2 三维空间
有向量值函数
，若它的三个分量以此为
,则有向量值函数可以表示为：
3 向量值函数的图形：
三维向量值函数
的图形三维空间中的一条曲线，称为终端曲线。
描述如下：
设变向量r的起点取在坐标系的原点O处，终点在M处，即是
。当自变量 t 发生变化的时候，r 跟着发生变化，从而终点M也随之改变，终点M的轨迹是空间中的一条曲线，就是三维向量值函数
结论：1.向量值函数和空间中的曲线有 一一对应的关系: 有一条空间曲线就有一个向量值函数 ，有一个向量值函数就有取定了一条空间曲线 。
2.向量值函数
称为对应空间曲线的向量方程
4. 向量值函数的极限
设向量值函数
在 t 的某领域内有定义,
如果存在一个常向量
,对于任意给定的正数
, 总存在 与
存在依赖关系的正数
,使得 当 t 满足
时，对应的向量函数值 f（t） 满足不等式，
，那么（结论），常向量
称为函数值
当
时的极限。
记作：
或者
极限存在的充要条件：
向量值函数的三个分量函数
当
时的极限都存在。
解释：
1.如果向量值函数的极限存在，则三个分量实值函数的极限都存在；另一方面，如果三个分量数量函数的极限都存在，则向量值函数的极限也一定存在在。
2.当向量值函数的极限存在的时候有：
（向量值函数的极限计算公式）
5 向量值函数的连续性：
若一元向量值函数在
的某领域内有定义，且 其极限等于
则说 向量值函数
连续性的应用：
（1） 已知函数的极限，判断函数的在点
定理：（函数连续的充要条件）
向量值函数
函数
数集D上的连续函数：
如果向量值函数在其定义数集D 上每一点都连续，则 函数 f 在数集D上连续 。
6 向量值函数的导数：
设向量值函数
如果极限
存在 ，
那么这个极限 就是 函数
的导数 ,记作：
f 在 数集D上可导 ：
若向量值函数 f 在定义区间 D 上的每一处都是可导的 ， 那么称 函数f 在数集D上可导。
定理
向量值函数
可导
此时的计算公式为：
7.向量值函数的导数的运算法则 ：
可以完全类比数量函数的导数的运算法则。
参考：https://wenku.baidu.com/view/3d7d2e777cd184254b3535e6.html
8. 向量值函数
8.1 t 的增长方向 ------- 自变量 t 增大的时候，如图所示，的点p 的移动方向简称为 t 的增长方向 。
8.2 当
时， 自变量的增量
与t增长方向一致 ；
当
时， 自变量的增量
但是，不论是上述两种情况的任一种 ，都有向量
的指向总是与 t 的增长方向一致。
当
,向量
逼近 函数f 在点 M处的切线 。
8.3 定理：导向量
是向量值函数，
在 点M处 的一个切向量，且此切向量的志向与 t 的增长方向一致 。
9 空间曲线的切向方程 和 法平面方程
由三维向量值函数的导（数）向量的几何意义，可以轻松的得到空间曲线的切线方程 和 法平面方程。
9.1 空间曲线以参数方程形式出现的情形：
9.2 空间曲线以两个空间柱面方程给出情形：
曲线方程为
上述方程可以改写为：
直接套用9.1 的公式，即可得到切线方程和发平面方程。
9.3 空间曲线以连个普通空间曲面方程（隐式方程）给出的情形：
曲线方程为
,
若函数F，G具有对各个变量连续偏导数且有雅克比式
，这就满足了隐函数存在定理的条件，此方程组能唯一取定一组函数
, 利用隐函数存在定理提供的偏导数的求法，或则使用推导法（直接法） 可以求得偏导数
,然后套用9.2的公式，立即可得 ，切线方程和法平面返程。