图解圆周卷积

1.圆周卷积（circular convolution）

圆周卷积，也叫循环卷积，两个长度为N的有限场序列x(n)和h(n)的循环卷积定义为

y(n)=[∑N−1m=0x(m)h((n−m))N]RN(n)=xn⨂yn

即循环卷积相当于周期延拓后的序列x˜(n)做周期卷积后再取主值区间，若x(n)和h(n)的离散傅里叶变换为X(K)和H(K)，则有

DFT[y(n)]=X(K)H(K)

即时域中的循环卷积对应于其离散傅里叶变换的乘积，循环卷积的结果y(n)长度为N

图解循环卷积：

记x1(n)=R4(n),x2(n)=R4(n−2)，求x1(n)与x2(n)的N=6点循环卷积x(n)。
x1(n)与x2(n) 波形如下

先将x2(n)做周期延拓（以N为周期），然后再反褶，得到x2((−m))6R6(n)，如下图

然后再进行循环移位，注意，现在是在对一个周期N= 6 的函数移位，因为最后只取主值区间，因此只需要移位N= 6次，即只需要得到x2((−m))6R6(n)、x2((1−m))6R6(n)，……，x2((5−m))6R6(n)，移位如下图

最后，将上图中的x1(m)在对应点与各移位图相乘累加即得到最终结果