高数打卡11

计算下列对坐标的曲面积分：
$\iint_{\sum}zdxdy+xdydz+ydzdx$∬∑​zdxdy+xdydz+ydzdx
其中$\sum$∑是柱面$x^2+y^2=1$x2+y2=1被平面$z=0$z=0及$z=3$z=3所截得的在第一卦限内的部分的前侧；

由于柱面$x^2+y^2=1$x2+y2=1在$xOy$xOy 面上的投影为$0,$0,因此$\iint_{\sum}zdxdy=0.$∬∑​zdxdy=0.
又
$D_{yz}=\{(y,z)|0\leq y\leq 1,0\leq z\leq 3\}\\ D_{zx}=\{(x,z)|0\leq z\leq 3,0\leq x\leq 1\}$Dyz​={(y,z)∣0≤y≤1,0≤z≤3}Dzx​={(x,z)∣0≤z≤3,0≤x≤1}
因$\sum$∑取前侧,故
$\iint_{\sum}zdxdy+xdydz+ydzdx=\iint_{\sum}xdydz+\iint_{\sum}ydzdx\\ =\iint_{D_{yz}}\sqrt{1-y^2}dydz+\iint_{D_{zx}}\sqrt{1-y^x}dzdx\\ =\int_{0}^{3}dz\int_{0}^{1}\sqrt{1-y^2}dy+\int_{0}^{3}dz\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\\ =\frac{3}{2}\pi$∬∑​zdxdy+xdydz+ydzdx=∬∑​xdydz+∬∑​ydzdx=∬Dyz​​1−y2​dydz+∬Dzx​​1−yx​dzdx=∫03​dz∫01​1−y2​dy+∫03​dz∫01​1−x2​dx=23​π