【线性代数4】线性变换（上）

线性变换

上次说到，矩阵$A$A与向量$x$x的乘积仍然是一个向量$b$b，。已知$A,b$A,b计算$x$x的方法就是用增广矩阵$\begin{bmatrix}A&b\end{bmatrix}$[A​b​]

$A,b,x$A,b,x矩阵满足的关系是$A$A行数是$b$b的维度，$A$A列数是$x$x维度

既然如此，我们可以建立一个从$n$n维向量到$m$m维向量的映射：$T(x)=Ax$T(x)=Ax，这就是对向量$x$x的一个变换。他是一种线性变换，我们后面会说线性变换的严格定义。

比如：设一个从四维向量到二维向量的映射$T(x)=\begin{bmatrix}4&-3&1&3\\2&0&5&1\end{bmatrix}x$T(x)=[42​−30​15​31​]x

$\begin{bmatrix}4&-3&1&3\\2&0&5&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\8\end{bmatrix}$[42​−30​15​31​]⎣⎢⎢⎡​1111​⎦⎥⎥⎤​=[58​]，
则说$T\Big(\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}\Big)=\begin{bmatrix}5\\8\end{bmatrix}$T(⎣⎢⎢⎡​1111​⎦⎥⎥⎤​)=[58​]

例题：
$T(x)=\begin{bmatrix}1&-3\\3&5\\-1&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}$T(x)=⎣⎡​13−1​−357​⎦⎤​[x1​x2​​]

求二维向量$x$x使得$T(x)=\begin{bmatrix}3\\2\\-5\end{bmatrix}$T(x)=⎣⎡​32−5​⎦⎤​

解：$\begin{bmatrix}1&-3\\3&5\\-1&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\2\\-5\end{bmatrix}$⎣⎡​13−1​−357​⎦⎤​[x1​x2​​]=⎣⎡​32−5​⎦⎤​

列出增广矩阵$\begin{bmatrix}1&-3&3\\3&5&2\\-1&7&-5\end{bmatrix}$⎣⎡​13−1​−357​32−5​⎦⎤​

$\begin{bmatrix}1&-3&3\\3&5&2\\-1&7&5\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&-3&3\\0&14&-7\\0&4&-2\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&-3&3\\0&1&-0.5\\0&0&0\end{bmatrix}$⎣⎡​13−1​−357​325​⎦⎤​→⎣⎡​100​−3144​3−7−2​⎦⎤​→⎣⎡​100​−310​3−0.50​⎦⎤​

$\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&1.5\\0&1&-0.5\\0&0&0\end{bmatrix}$→⎣⎡​100​010​1.5−0.50​⎦⎤​

所以$x=\begin{bmatrix}1.5\\-0.5\end{bmatrix}$x=[1.5−0.5​]

知道了线性变换的公式，求自变量还是因变量都很容易。

既然线性变换也是一个变换，那这个变化也有定义域和值域，若一个从$n$n维向量到$m$m维向量的线性变换$T$T，他的定义域一定是全体$n$n维向量，但是他的值域不一定是全体$m$m维向量。如图：

举个例子，$T(x)=\begin{bmatrix}1&-3\\3&5\\-1&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}$T(x)=⎣⎡​13−1​−357​⎦⎤​[x1​x2​​]，那么向量$v=\begin{bmatrix}3\\2\\5\end{bmatrix}$v=⎣⎡​325​⎦⎤​不在值域中，不信你解个方程看看。

这些是线性变换的基本概念，有一种比较特殊的线性变换，当$T(x)=Ax$T(x)=Ax中$A$A是一个方阵时，相当于在同维空间中点与点之间的映射。特别地，在$A$A行数与列数都是$1$1的时候，就是我们熟悉的正比例函数。

下一章，我们主要研究二维空间中的线性变换。

前面我说要将什么是线性变换，我们先看变换$T(x)=Ax$T(x)=Ax的性质：

• 该变换满足两条性质：
  • $T(x_1+x_2)=T(x_1)+T(x_2)$T(x1​+x2​)=T(x1​)+T(x2​)
  • $T(cx)=cT(x)$T(cx)=cT(x)

这两条性质都可以用矩阵乘法运算律得出。就像直线和平面的方程一样，线性变换的方程都是满足这两条性质的。

对于任意变换$T(x)$T(x)，若其满足下列两条性质，和其为线性变换

1. $T(u+v)=T(u)+T(v)$T(u+v)=T(u)+T(v)
2. $T(cu)=cT(u)$T(cu)=cT(u)