【线性代数6】线性变换（下）

线性变换

接上一篇线性变换（中）

上一篇博客中我写了一些常见的线性变换。实际上，我们可以用一个矩阵$A$A来表示线性变换$T$T。

根据线性变换的性质，$T(a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n)=a_1T(v_1)+a_2T(v_2)+\cdots+a_nT(v_n)$T(a1​v1​+a2​v2​+⋯+an​vn​)=a1​T(v1​)+a2​T(v2​)+⋯+an​T(vn​)

你连矩阵$A$A都不用知道，只需要知道向量$v_1$v1​到$v_n$vn​线性变换后的值，就可以计算出任意向量$v$v经过线性变换后的值。也就是，你可以自己定义线性变换。

就以平面向量为例，设$e_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},e_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$e1​=[10​],e2​=[01​]

假如我已知$T(e_1)=\begin{bmatrix}5\\-7\\2\end{bmatrix},T(e_2)=\begin{bmatrix}-3\\8\\0\end{bmatrix}$T(e1​)=⎣⎡​5−72​⎦⎤​,T(e2​)=⎣⎡​−380​⎦⎤​

因为$x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\x_2\end{bmatrix}=x_1e_1+x_2e_2$x=[x1​x2​​]=[x1​0​]+[0x2​​]=x1​e1​+x2​e2​

所以$T(x)=x_1T(e_1)+x_2T(e_2)=\begin{bmatrix}5x_1-3x_2\\-7x_1+8x_2\\2x_1+0x_2\end{bmatrix}$T(x)=x1​T(e1​)+x2​T(e2​)=⎣⎡​5x1​−3x2​−7x1​+8x2​2x1​+0x2​​⎦⎤​

其实，根据变换$T$T，线性变换的矩阵也可以求出来。

我们举一个更一般的例子：设$e_j$ej​为$n$n阶单位矩阵的第$j$j列。

已知$T(e_j)=v_j$T(ej​)=vj​，是一个$m$m维向量

那么对于任意$n$n维向量$x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}$x=⎣⎢⎢⎢⎡​x1​x2​⋮xn​​⎦⎥⎥⎥⎤​

$T(x)=x_1T(e_1)+x_2T(e_2)+\cdots+x_nT(e_n)$T(x)=x1​T(e1​)+x2​T(e2​)+⋯+xn​T(en​)

$=\begin{bmatrix}v_1&v_2&\cdots&v_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}$=[v1​​v2​​⋯​vn​​]⎣⎢⎢⎢⎡​x1​x2​⋮xn​​⎦⎥⎥⎥⎤​

$=\begin{bmatrix}v_1&v_2&\cdots&v_n\end{bmatrix}x$=[v1​​v2​​⋯​vn​​]x

而且，$\begin{bmatrix}v_1&v_2&\cdots&v_n\end{bmatrix}$[v1​​v2​​⋯​vn​​]正是一个$m\times n$m×n的矩阵。所以，$\begin{bmatrix}v_1&v_2&\cdots&v_n\end{bmatrix}$[v1​​v2​​⋯​vn​​]就是我们需要的矩阵$A$A。

利用这个方法，可以求出上一章中的所有线性变换的矩阵。

1. 拉伸/压缩变换

$e_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},e_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$e1​=[10​],e2​=[01​]

那么$T(e_1)=v_1=\begin{bmatrix}k\\0\end{bmatrix},T(e_2)=v_2=\begin{bmatrix}0\\k\end{bmatrix}$T(e1​)=v1​=[k0​],T(e2​)=v2​=[0k​]

所以$A=\begin{bmatrix}v_1&v_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}$A=[v1​​v2​​]=[k0​0k​]

2. 对称变换

我就以关于$x$x轴对称来举例。

$T(e_1)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},T(e_2)=\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}$T(e1​)=[10​],T(e2​)=[0−1​]

所以$A=\begin{bmatrix}T(e_1)&T(e_2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$A=[T(e1​)​T(e2​)​]=[10​0−1​]

3. 旋转变换

首先，逆时针旋转$\dfrac\pi2$2π​弧度后

$T(e_1)=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},T(e_2)=\begin{bmatrix}-1\\0\end{bmatrix}$T(e1​)=[01​],T(e2​)=[−10​]

所以$A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$A=[01​−10​]

那旋转任意角度怎么计算呢？

假设向量逆时针旋转$\theta$θ弧度

那么$T(e_1)=\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}$T(e1​)=[cosθsinθ​]

$T(e_2)=\begin{bmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{bmatrix}$T(e2​)=[−sinθcosθ​]

所以，矩阵$A=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$A=[cosθsinθ​−sinθcosθ​]

所以，将一个向量逆时针旋转任意角$\theta$θ，就是乘矩阵$\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$[cosθsinθ​−sinθcosθ​]

这个矩阵你基本上是不可能一眼就看出来的。

4. 剪切变换

$T(e_1)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},T(e_2)=\begin{bmatrix}k\\1\end{bmatrix}$T(e1​)=[10​],T(e2​)=[k1​](见下图)

所以矩阵$A=\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}$A=[10​k1​]

同理，垂直剪切变换就是$A=\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}$A=[1k​01​]

自此，特殊的线性变换问题就解决了。