【线性代数及其应用】04 -线性变换

线性变换

文章目录

• 线性变换
• 1. 矩阵与向量相乘的两重含义
• 1.1 重新线性组合
• 1.2 线性变换
• 2. 线性变换的分类
• 3. 线性变换矩阵的求解
• 4. 满射与单射
• 5. 线性变换与计算机图形学
• 5.1 旋转、伸缩、剪切变换
• 5.2 平移变换
• 5.2.1 齐次坐标系
• 5.2.2 二维的平移变换
• 5.2.3 三维的平移变换
• 5.3 透视投影
• 5.4 绕某点旋转

1. 矩阵与向量相乘的两重含义

1.1 重新线性组合

  对于矩阵与向量的乘法AX=b而言，从矩阵角度考虑，向量X的系数作为权值，让矩阵A中的各个列向量进行叠加，最后得到了一个重新线性组合的向量b

1.2 线性变换

  从向量角度来考虑，矩阵A对向量具有变换作用，通过矩阵A能够实现向量X的放缩、旋转、镜像等变换，这是矩阵乘法的线性变换含义。

2. 线性变换的分类

• 剪切变换

  剪切变换就是通过矩阵使得图形沿着某个方向滑动，一般是所有向量都加上了其中某一个向量的倍数，也就向着这个方向进行滑动

• 旋转变换

  旋转变换就是绕着原点顺时针或者逆时针转动一定角度

• 伸缩变换

  伸缩变换是所有向量整体增大或者减少一定倍数

• 镜像变换

  沿着某条轴做镜像对称得到新向量

3. 线性变换矩阵的求解

  线性变换满足数乘和加法的封闭，也就是
$T(cX) = c*T(X)$T(cX)=c∗T(X)

$T(X+Y)=T(X)+T(Y)$T(X+Y)=T(X)+T(Y)

$T(C1*X+C2*Y)=C1*T(X)+C2*T(Y)$T(C1∗X+C2∗Y)=C1∗T(X)+C2∗T(Y)
  所以，我们只要知道基向量的变换情况，就可以通过基向量的组合得到任意向量的线性变换。比如
$v = c_1*v_1+c_2*v_2+c_3*v_3$v=c1​∗v1​+c2​∗v2​+c3​∗v3​

$T(v)=c_1*T(v_1)+c_2*T(v_2)+c_3*T(v_3)$T(v)=c1​∗T(v1​)+c2​∗T(v2​)+c3​∗T(v3​)

  我们以旋转为例进行说明

  假设向量旋转了90°，那么基向量必然也旋转了90°

  开始时候的基向量为
$v1 = \left\{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right\}$v1={10​}

$v2 = \left\{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right\}$v2={01​}
  而旋转之后的基向量为

$v1' = \left\{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right\}$v1′={01​}

$v2' = \left\{\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right\}$v2′={−10​}

  所以变换矩阵为
$A = \left\{\begin{matrix}0 &-1\\1 &0\end{matrix}\right\}$A={01​−10​}
  线性变换的操作为
$v' = A*v$v′=A∗v

4. 满射与单射

• 满射就是，通过现有的向量组合得到目标线性变换所需要的向量，至少有一种实现方式。相当于AX=b有1个或无穷多个解
• 单射就是，通过现有的向量组合得到目标线性变换所需要的向量，最多有一种实现方式。相当于AX=b有0或1个解

5. 线性变换与计算机图形学

5.1 旋转、伸缩、剪切变换

• 剪切变换矩阵

  水平剪切
$\left\{\begin{matrix}1 &m\\0 &1\end{matrix}\right\}${10​m1​}

  垂直剪切
$\left\{\begin{matrix}1 &0\\m &1\end{matrix}\right\}${1m​01​}

• 伸缩变换
  $\left\{\begin{matrix}m &0\\0 &1\end{matrix}\right\}${m0​01​}
  $\left\{\begin{matrix}1 &0\\0 &m\end{matrix}\right\}${10​0m​}
• 旋转变换

$\left\{\begin{matrix}cosθ & -sinθ\\sinθ &cosθ\end{matrix}\right\}${cosθsinθ​−sinθcosθ​}

• 复合变换
  $A_1*A_2*.....*A_n$A1​∗A2​∗.....∗An​

5.2 平移变换

5.2.1 齐次坐标系

  平移变换并不属于线性变换，因此，如果想要实现n维度空间的平移，必须构建n+1维度的空间，才能实现平移的线性变换，构造的n+1维度空间叫做齐次坐标系

5.2.2 二维的平移变换

  假设对v1实行平移变换
$v1=\left\{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right\}$v1={xy​}
  增加一个维度，让R²中的每个点(x,y)，都变成对应的(x,y,1)，放到R³中去，xy平面的上面一个单位上去。
$w1=\left\{\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right\}$w1=⎩⎨⎧​xy1​⎭⎬⎫​
  让(x,y)->(x+h,y+w)的变换可以写做

$\left\{\begin{matrix}1&0&w\\0&1&h\\0&0&1\end{matrix}\right\}*\left\{\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix}x+w\\y+h\\1\end{matrix}\right\}$⎩⎨⎧​100​010​wh1​⎭⎬⎫​∗⎩⎨⎧​xy1​⎭⎬⎫​=⎩⎨⎧​x+wy+h1​⎭⎬⎫​

5.2.3 三维的平移变换

  三维平移变换也类似，构建四维齐次坐标系进行
$\left\{\begin{matrix}1&0&0&w\\0&1&0&h\\0&0&1&s\\0&0&0&1\end{matrix}\right\}*\left\{\begin{matrix}x\\y\\z\\1\end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix}x+w\\y+h\\z+s\\1\end{matrix}\right\}$⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​1000​0100​0010​whs1​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​∗⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​xyz1​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​x+wy+hz+s1​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​
  一般来说(x,y,z,1)是(x,y,z)对应的齐次坐标，若最后一个数字不为1，应该通过除法使其变成1
$(X,Y,Z,H)$(X,Y,Z,H)

$x = \frac{X}{H}$x=HX​

$y = \frac{Y}{H}$y=HY​

$z = \frac{Z}{H}$z=HZ​

5.3 透视投影

  透视投影就是，假设某个点(x,y,z),某个点望去，投影到某个平面上的时候，获得了投影点坐标。比如点(x,y,z),从(0,0,d)位置望去，投影在xy平面上的点是多少
  根据三角形相似关系，可以得到

$\frac{x}{x'}=\frac{d-z}{d}$x′x​=dd−z​
  可得x和y的投影坐标为
$x' = \frac{x}{1-z/d}$x′=1−z/dx​

$y' = \frac{y}{1-z/d}$y′=1−z/dy​

  所以(x,y,z,1)投影结果为(x’,y’,0,1)，让向量乘以1-z/d,变成(x,y,0,1-z/d)
$\left\{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&-\frac{1}{d}&1\end{matrix}\right\}*\left\{\begin{matrix}x\\y\\z\\1\end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix}x\\y\\0\\1-z/d\end{matrix}\right\}$⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​1000​0100​000−d1​​0001​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​∗⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​xyz1​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​xy01−z/d​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​
  在齐次坐标系中，把最后一个坐标除为1，就得到了在三维空间中的透视投影点坐标了。

5.4 绕某点旋转

  假设有一个图形，想要绕着点p进行旋转一定角度，具体步骤为

• 图形平移-p到原点
• 绕原点进行旋转
• 旋转后的图形平移p到原位置