第三十一讲 非线性微分自治方程组及图解

一，非线性一阶微分自治方程组的一般形式：
$\left\{\begin{matrix}{x}'=f(x,y)\\ {y}'=g(x,y)\end{matrix}\right.${x′=f(x,y)y′=g(x,y)​
等式右边不显含变量t
等式右边是非线性函数（如三角函数、二次项）

二，例题（含阻尼的非线性摆）：

如图，一根木杆绕定点o来回摆动，下端有个质量为m的摆球，木杆长度为l，轨道是圆形。θ角是木杆和垂直方向的夹角。规定逆时针摆动为正方向，θ角为正，顺时针为负方向，θ角为负。
分析：
模型满足方程$m\vec{a}=\vec{F}$ma=F
因为：$\vec{a}={\theta }''l$a=θ′′l，$F=-mgsin(\theta )$F=−mgsin(θ)，F的方向为负方向
所以：$m{\theta }''l=-mgsin(\theta )$mθ′′l=−mgsin(θ)
再减去阻尼线速度：$m{\theta }''l=-mgsin(\theta )-c_{1}l{\theta }'$mθ′′l=−mgsin(θ)−c1​lθ′，$c_{1}$c1​为常数
整理为微分方程：${\theta }''+\frac{c_{1}}{m}{\theta }'+\frac{g}{l}sin(\theta )=0$θ′′+mc1​​θ′+lg​sin(θ)=0
常数集总：令$\frac{c_{1}}{m}=c$mc1​​=c称为阻尼常数，令$\frac{g}{l}=k$lg​=k
化简微分方程：${\theta }''+c{\theta }'+ksin(\theta )=0$θ′′+cθ′+ksin(θ)=0
转化为方程组：
$\left\{\begin{matrix}{\theta }'=\omega \\ {\omega }'=-ksin(\theta )-c\omega \end{matrix}\right.${θ′=ωω′=−ksin(θ)−cω​
令c=1，k=2，得欠阻尼状态：
$\left\{\begin{matrix}{\theta }'=\omega \\ {\omega }'=-2sin(\theta )-\omega \end{matrix}\right.${θ′=ωω′=−2sin(θ)−ω​
第一步，找到临界点（本身构成解的点）：
设临界点为$(x_{0},y_{0})$(x0​,y0​)，意味着$\left\{\begin{matrix}{x_{0}}'=f(x_{0},y_{0})=0\\ {y_{0}}'=g(x_{0},y_{0})=0\end{matrix}\right.${x0​′=f(x0​,y0​)=0y0​′=g(x0​,y0​)=0​
本例中$\left\{\begin{matrix}{\theta _{0}}'=\omega _{0}=0\\ {\omega _{0}}'=-2sin(\theta _{0})-\omega _{0}=0\end{matrix}\right.${θ0​′=ω0​=0ω0​′=−2sin(θ0​)−ω0​=0​，在该点角速度和角加速度都为0，处于静止状态
解方程组，得：$sin(\theta _{0})=0$sin(θ0​)=0，$\left\{\begin{matrix}\theta _{0}=n\pi \\ \omega _{0}=0\end{matrix}\right.${θ0​=nπω0​=0​，n是整数
从物理的角度看，临界点在圆形轨迹的最低点$\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}$[θ0​ω0​​]=[00​]和最高点$\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pi\\ 0\end{bmatrix}$[θ0​ω0​​]=[π0​]，最低点的临界点是稳定的（摆球从该点附近出发，时间趋于无穷时，摆球会接近该点），最高点的临界点是不稳定的（摆球从该点附近出发，时间趋于无穷时，摆球会远离该点）。
第二步，对每个临界点附近线性化方程组，并画出轨迹：
当在最低点$\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}$[θ0​ω0​​]=[00​]时：
线性化：当$\theta _{0}$θ0​是无穷小时，$sin(\theta _{0})\rightarrow \theta _{0}$sin(θ0​)→θ0​
方程组变为：$\left\{\begin{matrix}{\theta _{0}}'=\omega _{0}\\ {\omega _{0}}'=-2\theta _{0}-\omega _{0}\end{matrix}\right.${θ0​′=ω0​ω0​′=−2θ0​−ω0​​

矩阵化：$\begin{bmatrix}{\theta _{0}}'\\ {\omega _{0}}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\ -2 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}$[θ0​′ω0​′​]=[0−2​1−1​][θ0​ω0​​]
求特征值：
二阶矩阵公式$\lambda ^{2}+\lambda +2=0$λ2+λ+2=0，得：$\lambda =\frac{-1\pm \sqrt{-7}}{2}$λ=2−1±−7​​
$\lambda$λ是复数，说明图像是螺旋。因为实部$-\frac{1}{2}$−21​是负数，所以大小会按照$e^{-\frac{1}{2}t}$e−21​t缩小。因此螺旋是汇聚，不是源。
求螺旋方向：
将点$\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}$[θ0​ω0​​]=[10​]代入方程组，得该点速度向量$\begin{bmatrix}{\theta _{0}}'\\ {\omega _{0}}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ -2\end{bmatrix}$[θ0​′ω0​′​]=[0−2​]，竖直向下
作图：

物理含义：摆球从最低点附近开始，向最低点靠近，来回摆动，由于受到阻尼影响，摆幅越来越小，最后静止。

当在最高点$\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pi\\ 0\end{bmatrix}$[θ0​ω0​​]=[π0​]时：
线性化：
临界点$(x_{0},y_{0})$(x0​,y0​)处的雅克比矩阵：$J_{0}=\begin{bmatrix}f_{x} & f_{y}\\ g_{x} & g_{y}\end{bmatrix}_{0}$J0​=[fx​gx​​fy​gy​​]0​

本例中，临界点的方程组：$\left\{\begin{matrix}{\theta _{0}}'=\omega _{0}\\ {\omega _{0}}'=-2sin(\theta _{0})-\omega _{0}\end{matrix}\right.${θ0​′=ω0​ω0​′=−2sin(θ0​)−ω0​​
雅克比矩阵：$J_{0}=\begin{bmatrix}f_{\theta } & f_{\omega }\\ g_{\theta } & g_{\omega }\end{bmatrix}_{0}=\begin{bmatrix}0 &1 \\ -2cos(\theta ) & -1\end{bmatrix}$J0​=[fθ​gθ​​fω​gω​​]0​=[0−2cos(θ)​1−1​]
这个雅克比矩阵就是线性化方程中的矩阵A：比如，当在最低点$\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}$[θ0​ω0​​]=[00​]时，$J_{0}=\begin{bmatrix}0 &1 \\ -2cos(\theta ) & -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\ -2 & -1\end{bmatrix}$J0​=[0−2cos(θ)​1−1​]=[0−2​1−1​]

当在最高点$\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pi\\ 0\end{bmatrix}$[θ0​ω0​​]=[π0​]时：$J_{0}=\begin{bmatrix}0 &1 \\ -2cos(\theta ) & -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\ 2 & -1\end{bmatrix}$J0​=[0−2cos(θ)​1−1​]=[02​1−1​]

矩阵化：$\begin{bmatrix}{\theta _{0}}'\\ {\omega _{0}}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\ 2 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}$[θ0​′ω0​′​]=[02​1−1​][θ0​ω0​​]
求特征值：
二阶矩阵公式$\lambda ^{2}+\lambda -2=0$λ2+λ−2=0，得：$\lambda _{1}=1$λ1​=1，$\lambda _{2}=-2$λ2​=−2
求特征向量：
将$\lambda _{1}=1$λ1​=1代入$\begin{bmatrix}0-\lambda & 1\\ 2 & -1-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\ \alpha _{2}\end{bmatrix}=0$[0−λ2​1−1−λ​][α1​α2​​]=0得：$\vec{\alpha _{1}}=c_{1}\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}$α1​​=c1​[11​]，解为$c_{1}\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}e^{t}$c1​[11​]et

将$\lambda _{1}=-2$λ1​=−2代入$\begin{bmatrix}0-\lambda & 1\\ 2 & -1-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\ \alpha _{2}\end{bmatrix}=0$[0−λ2​1−1−λ​][α1​α2​​]=0得：$\vec{\alpha _{2}}=c_{2}\begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix}$α2​​=c2​[1−2​]，解为$c_{2}\begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix}e^{-2t}$c2​[1−2​]e−2t

通解：$\begin{bmatrix}\theta _{0}\\ \omega _{0}\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}e^{t}+c_{2}\begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix}e^{-2t}$[θ0​ω0​​]=c1​[11​]et+c2​[1−2​]e−2t

作图（按照第二十七讲的方法）：

物理含义：摆球从最高点附近开始，由慢变快地向最低点下落。
第三步，将两个临界点的图结合成大图：
画出每个临界点的轨迹，并补充些轨迹。

物理含义：摆球从最高点附近开始，由慢变快地向最低点下落，如果力很大，就要转好几圈，然后在最低点附近来回摆动，由于受到阻尼影响，摆幅越来越小，最后静止。