线性方程组的几何解释
概述：
本讲主要介绍 线性代数基础----“求解线性方程组”
大纲：
- Row Picture
- Column Picture
- Matrix Form
一、线性方程组的几何解释：
1.1 二维线性方程
例1：2个未知数，2个方程
⎩⎪⎨⎪⎧2x−y=0−x+2y=3
抽取其系数矩阵为：
⎣⎡2−1−12⎦⎤⎣⎡xy⎦⎤=⎣⎡03⎦⎤
我们将系数矩阵称之为A，位置变量X，右侧变量b
对于该方程，其行图像为：
列图像为：
x⎣⎡2−1⎦⎤+y⎣⎡−12⎦⎤=⎣⎡03⎦⎤
将该方程的目的是：如何将两个向量正确组合，构成右侧向量，这就需要找到正确的线性组合(Linear Combination).
根据行图像我们将已知解代入x=1,y=2带入，画出向量：
思考：对于任意x和任意y，得到所有线性组合，得到的右侧向量会不会布满整个坐标平面？
1.2 三维线性方程
例2：
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧2x−y=0−x+2y−z=−1−3y+4z=4
写成矩阵形式：
⎣⎢⎢⎢⎢⎡2−10−12−30−14⎦⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎡xyz⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡0−14⎦⎥⎥⎥⎥⎤
行图像理解为三个向量确定的平面相交于一点；不过对于高维线性方程，不容易将其用行图像表示出来(实在画不出来)，所以局限性较大
列图像：
x⎣⎢⎢⎢⎢⎡2−10⎦⎥⎥⎥⎥⎤+y⎣⎢⎢⎢⎢⎡−123⎦⎥⎥⎥⎥⎤+z⎣⎢⎢⎢⎢⎡0−14⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡0−14⎦⎥⎥⎥⎥⎤
左侧：三个向量的线性组合
因为左边第三个向量等于右边向量，所以x=0,y=0,z=1
思考：保持左侧矩阵不变，然后考虑不同右侧变量，不管b是多少，是否都能求解方程？
- 从行图像方面理解：对任意b，是否都能求解Ax=b?
- 从列图像方面理解：列的线性组合是否能覆盖整个三维平面？
对这个矩阵，可以，那么什么情况无法求解–>
如果Column1，Column2，Column3在同一平面，比如Column3=Column1+Column2，得到的任意向量b都必然在平面上。
二、矩阵相乘的两种计算方法
方程组的矩阵形式：
Ax=b
计算的两种方法：
2.1.一次取一列
取1个第一列，2个第二列，然后相加，可以看作是列的线性组合:
⎣⎡2153⎦⎤⎣⎡12⎦⎤=1∗⎣⎡21⎦⎤+2∗⎣⎡53⎦⎤=⎣⎡127⎦⎤
2.2.一次取一行
正常的矩阵相乘：
⎣⎡2153⎦⎤⎣⎡12⎦⎤=⎣⎡2∗1+5∗21∗1+3∗2⎦⎤=⎣⎡127⎦⎤
数据量变大时第一种更好用！