矩阵知识：正交矩阵、行列式、子式与代数余子式

一、正交矩阵

1.1 $R^n$Rn的标准正交基

1.1.1 定义1

$R^n中的n个向量\eta_1,\eta_2,...,\eta_n满足:$Rn中的n个向量η1​,η2​,...,ηn​满足:
$(1)两两正交：\eta_i^T\eta_j=0(i\ne0)$(1)两两正交：ηiT​ηj​=0(i​=0)
$(2)都是单位向量，即||\eta_i||=1,i=1,2,...,n$(2)都是单位向量，即∣∣ηi​∣∣=1,i=1,2,...,n
$则称\eta_1,\eta_2,...,\eta_n为R^n的一组标准正交基$则称η1​,η2​,...,ηn​为Rn的一组标准正交基

注：

1. 标准正交基不唯一，例如{(1,0),(0,1)}和{(${\sqrt{2}\over2},{-\sqrt{2}\over2},({\sqrt{2}\over2},{\sqrt{2}\over2})$22​​,2−2​​,(22​​,22​​))}
   

1.2 两组标准正交基间的过渡矩阵

$设\xi_1,\xi_2,...,\xi_n与\eta_1,\eta_x,...,\eta_n是R^n的两组标准正交基，令\xi=(\xi_1\xi_2\dotsx_n),\xi=(\xi_1\xi_2\dots\xi_n)，由\xi到\eta的过渡矩阵为Q，即\eta=\xi Q，则Q^TQ=E$设ξ1​,ξ2​,...,ξn​与η1​,ηx​,...,ηn​是Rn的两组标准正交基，令ξ=(ξ1​ξ2​…n​),ξ=(ξ1​ξ2​…ξn​)，由ξ到η的过渡矩阵为Q，即η=ξQ，则QTQ=E

证明：
因为$\eta=\xi Q$η=ξQ，则$\eta^T=Q^T\xi^T$ηT=QTξT，所以：
$\eta^T\eta=Q^T\xi^T\xi Q$ηTη=QTξTξQ
又因为$\xi_1,\xi_2,...,\xi_n$ξ1​,ξ2​,...,ξn​与$\eta_1,\eta_2,...,\eta_n$η1​,η2​,...,ηn​均为标准正交基，所以：
$\xi^T\xi=E,\eta^T\eta=E$ξTξ=E,ηTη=E
故：
$Q^TQ=E$QTQ=E

1.3 正交矩阵及其性质

1.3.1 正交矩阵定义

$实数域R上的n阶矩阵Q满足Q^TQ=E，则称Q为正交矩阵$实数域R上的n阶矩阵Q满足QTQ=E，则称Q为正交矩阵

1.3.2 正交矩阵性质

1. n阶矩阵Q为正交矩阵$\iff Q^{-1}=Q^T$⟺Q−1=QT
2. $Q$Q为正交矩阵，则$Q^{-1}$Q−1也是正交矩阵
3. 若P，Q都是n阶正交矩阵，则PQ也是n阶正交矩阵
4. Q为正交矩阵，则$|Q|=\pm1$∣Q∣=±1

1.3.2 定理：

$设Q_n=(\alpha_1\alpha_2\dots\alpha_n)=\begin{pmatrix}\beta_1^T\\\beta_2^T\\\vdots\\\beta_n^T\end{pmatrix}，则Q_n为正交矩阵$设Qn​=(α1​α2​…αn​)=⎝⎜⎜⎜⎛​β1T​β2T​⋮βnT​​⎠⎟⎟⎟⎞​，则Qn​为正交矩阵
$\iff 列向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n为R^n的一组标准正交基$⟺列向量组α1​,α2​,...,αn​为Rn的一组标准正交基
$\iff 行向量组\beta_1,\beta_2,...,\beta_n为R^n的一组标准正交基$⟺行向量组β1​,β2​,...,βn​为Rn的一组标准正交基

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二、行列式

2.1 定义

为了给出n阶行列式的定义，首先我们研究三阶行列式的结构：
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​=a11​a22​a33​+a12​a23​a31​+a13​a21​a32​−a11​a23​a32​−a12​a21​a33​−a13​a22​a31​

2.1.1 结构一

1. 行列式右边任一项除正负号外可以写成：
   $a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}$a1p1​​a2p2​​a3p3​​
   其中$p_1p_2p_3$p1​p2​p3​是123的某个排列
2. 各项所带的正负号可以表示为$(-1)^t$(−1)t，其中t由列指标排列$p_1p_2p_3$p1​p2​p3​所决定（称为$p_1p_2p_3$p1​p2​p3​的逆序数）
   三阶行列式可以写成：
   $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}$∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​=∑(−1)ta1p1​​a2p2​​a3p3​​

2.1.2 由结构一得到n阶行列式的传统定义

$由n^2个数a_{ij}(i,j=1,2,...,n)构成的代数和$由n2个数aij​(i,j=1,2,...,n)构成的代数和
$\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}$∑(−1)ta1p1​​a2p2​​a3p3​​
$称为n阶行列式，记为：$称为n阶行列式，记为：
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{12}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}$∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a12​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​……⋱…​a1n​a2n​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​
$简记为det(a_{ij})，其中p_1p_2\dots p_n为自然数1,2,...,n的一个排雷，t为这个排列的逆序数，\sum表示对所有排列求和$简记为det(aij​)，其中p1​p2​…pn​为自然数1,2,...,n的一个排雷，t为这个排列的逆序数，∑表示对所有排列求和
$在n阶行列式D中，数a_{ij}为行列式D的(i,j)元$在n阶行列式D中，数aij​为行列式D的(i,j)元
$特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a$特别规定一阶行列式∣(a)∣的值就是a

2.1.3 结构二

2.2 性质

2.2.1 性质1

$设A为方阵，则|A^T|=|A|，即转置不改变方阵的行列式$设A为方阵，则∣AT∣=∣A∣，即转置不改变方阵的行列式
由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然。

2.2.2 性质2

行列式等于它的任一行元素与其对应的代数余子式乘积的和，即：
$D=a_{11}A_{i1}+a_{12}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{in}\quad(i=1,2,\dots,n)$D=a11​Ai1​+a12​Ai2​+⋯+ain​Ain​(i=1,2,…,n)

推论：
行列式等于它的任一列各元素与其对应的代数余子式乘积的和，即：
$D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\dots+a_{nj}A_{nj}\quad(j=1,2,...,n)$D=a1j​A1j​+a2j​A2j​+⋯+anj​Anj​(j=1,2,...,n)

2.2.3 性质3（线性性质）

1. 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式
2. $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}+b_{i1}&a_{i2}+b_{i2}&\dots&a_{in}+b{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\dots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{i1}&b_{i2}&\dots&b{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}$∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮ai1​+bi1​⋮an1​​a12​⋮ai2​+bi2​⋮an2​​…⋱…⋱…​a1n​⋮ain​+bin⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮ai1​⋮an1​​a12​⋮ai2​⋮an2​​…⋱…⋱…​a1n​⋮ain​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​+∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮bi1​⋮an1​​a12​⋮bi2​⋮an2​​…⋱…⋱…​a1n​⋮bin⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

推论：

1. 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面
2. 某一行（列）的所有元素全为0的行列式其值为0

2.2.4 性质4

行列式中如果有两行（列）完全相等，则行列式等于0

推论：
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则行列式等于0

2.2.5 性质5

把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

2.2.6 性质6

行列式的两行（列）对换，行列式的值反号

证明：
$0=|a_{1},...,a_{i}+a{j},...,a_i+a_j,...,a_n|$0=∣a1​,...,ai​+aj,...,ai​+aj​,...,an​∣
$\quad=|a_1,...,a_i,...,a_i+a_j,...,a_n|+|a_1,...,a_j,...,a_i+a_j,...,a_n|$=∣a1​,...,ai​,...,ai​+aj​,...,an​∣+∣a1​,...,aj​,...,ai​+aj​,...,an​∣
$\quad=|a_1,...,a_i,...,a_j,...,a_n|+|a_1,...,a_j,...,a_i,...,a_n|$=∣a1​,...,ai​,...,aj​,...,an​∣+∣a1​,...,aj​,...,ai​,...,an​∣
即：$|a_1,...,a_i,...,a_j,...,a_n|=-|a_1,...,a_j,...,a_i,...,a_n|$∣a1​,...,ai​,...,aj​,...,an​∣=−∣a1​,...,aj​,...,ai​,...,an​∣

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2.3 几个等价结论

$|A|\ne0$∣A∣​=0
$\iff A可逆$⟺A可逆
$\iff R(A)=n$⟺R(A)=n
$\iff A的列（行）向量组线性无关$⟺A的列（行）向量组线性无关
$\iff AX=0仅有零解$⟺AX=0仅有零解
$\iff AX=b有唯一解$⟺AX=b有唯一解
$\iff 任一n维向量都可由A的列向量组唯一线性表示$⟺任一n维向量都可由A的列向量组唯一线性表示
$\iff A课表示成初等矩阵的乘积$⟺A课表示成初等矩阵的乘积
$\iff A的定价标准形式单位矩阵$⟺A的定价标准形式单位矩阵
$\iff A的行最简形是单位矩阵$⟺A的行最简形是单位矩阵
$\iff A的特征值都不等于0$⟺A的特征值都不等于0
$\iff A^TA是正定矩阵$⟺ATA是正定矩阵

三、子式与代数余子式

3.1 定义

3.1.1 定义1

在一个n阶行列式D中任取k行k列，则位于这些行列的相交处的元素构成的k阶行列式被称为行列式D的一个k阶子式

3.1.2 定义2

$n>1阶行列式D=\begin{vmatrix}a_{11}&\dots&a_{1j}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{i1}&\dots&a_{ij}&\dots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&\dots&a_{nj}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}的某一元素a_{ij}的余子式M_{ij}是指D中划去a_{ij}所在行与列后剩下的n-1阶子式$n>1阶行列式D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮ai1​⋮an1​​…⋮…⋮…​a1j​⋮aij​⋮anj​​…⋮…⋮…​a1n​⋮ain​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​的某一元素aij​的余子式Mij​是指D中划去aij​所在行与列后剩下的n−1阶子式

3.1.3 定义3

$n阶行列式D的元素a_{ij}的余子式M_{ij}附上符号(-1)^{i+j}后，被称为元素a_{ij}的代数余子式$n阶行列式D的元素aij​的余子式Mij​附上符号(−1)i+j后，被称为元素aij​的代数余子式
$元素a_{ij}的代数余子式用符号A_{ij}表示为：$元素aij​的代数余子式用符号Aij​表示为：
$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$Aij​=(−1)i+jMij​

3.2 定理

3.2.1 定理1

$行列式D等于它任一行（列）的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和，也就是说：$行列式D等于它任一行（列）的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和，也就是说：
$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}$D=ai1​Ai1​+ai2​Ai2​+...+ain​Ain​
$D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}$D=a1j​A1j​+a2j​A2j​+...+anj​Anj​

3.2.2 定理2

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