【矩阵论笔记】矩阵特征矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子

矩阵的特征值矩阵是由矩阵特征值$\lambda$λ构成的矩阵。包含三个运算：
1、互换两行（列）
2、某行（列）乘非零常数
3、某行（列）乘多项式后加到另一行
n阶$\lambda$λ矩阵可逆的充要条件是：$A(\lambda)=非零常数$A(λ)=非零常数
因为初等变换不改变矩阵的行列式因子和不变因子，所以可以通过初等变换来求smith标准型。

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由此引出smith标准型的概念：
1、最高次幂系数为1
2、$d(\lambda_i)$d(λi​)能够整除$d(\lambda_{i+1})$d(λi+1​)
3、$\lambda$λ矩阵的smith标准型是唯一的

用上面的三个运算可以把一个$\lambda$λ矩阵化为smith标准型，举例：

技巧：

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这样求smith标准型比较麻烦，容易出错。接下来就引出了求smith标准型的第二种方法，为了学会这个方法，先要了解一些概念。

1. 行列式因子
   k阶行列式因子是$A(\lambda)$A(λ)中全部非零k阶子式的最高次幂系数为1的最大公因式。
   
   上式中，分别求得了各阶的非0子式，然后在每一阶中找到最大公共子式，这就是行列式因子。
   性质：等价的$\lambda$λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子。
   行列式因子就是smith标准型对角线上的元素。

2. 不变因子
   不变因子就是smith标准型对角线上的相邻元素之商。
   
   例：
   
   如果一阶子式有一个数字，那么一阶行列式因子就是1。
   性质：两个$\lambda$λ矩阵等价的充要条件是具有相同的行列式因子，有相同的不变因子。

3. 初等因子
   对不变因子做因式分解，得到1次因式方幂。
   

性质：
一、分块矩阵的初等因子是各个块的初等因子。

二、Jorden矩阵的初等因子为