数论培训day 3下午【组合数】

组合数问题

加法原理

乘法原理

Question 1


Question 2


Question 3

组合

排列

Question 4

Question 5

Question 6

Question 7

Question 8

Question 9

Question 10

Question 11

组合数极其相关性质

证明

经典题

若不加上不穿过y=x这个条件，方案数为C(n+m,n)
若加上
不合法的路径在y=x的映射后的路径一定经过(1,0) 所以只需要总方案数减去经过(1,0)的路径
答案为 C(n+m,n)-C(n+m-1,n-1)

Problem 1


看似很麻烦，其实很简单

k=C(1,0)+C(2,0)+C(3,0)+…+C(k-1,0)+)C(x-k+1,1)
用到了两个性质
1.任何自然数都能被组合数表示
2.1的表示方法有无数种

Problem 2

直接比较数据太多，算出的位数太多，所以不能直接比较，可以比较他们的log
对数函数的性质
log a*b=log a+log b
log a/b=log a-log b
log C(n,m)=log n!-log (n-m)!-log m!
预处理出阶乘和对数就能直接比较了

Problem 3


要是k=1,那么这个数一定是C(n,n/2)
用堆维护 每次拿出最大值后，将这个数周围的数也压入堆里，再重复这个步骤。

Problem 4
luogu 3746

Problem 5

容斥原理

Question 12

ans=170+130+120-45-20-22+3

Question 13

ans=300+200+120-100-40-60+20
前面的正负跟莫比乌斯函数的相反数是对应的
所以莫比乌斯函数也叫数论函数的容斥系数

Question 14

同上题

Question 15

不合法的方案数为
确定一个人不合法 其他人全排，但是会有重复的，所以要减去两个不合法的再加上三个人不合法的…
用总的减去不合法的为方案数

Question 16

用维恩图画一下就出来了

Question 17

Problem 6


也用到了莫比乌斯函数

Problem 8

分情况讨论 有大于等于1个球没有拍 什么都没有 等等