DP&图论 DAY 4 下午
后天考试不考二分图，双联通
考拓扑排序
图论
图的基本模型
边：
有向边构成有向图
无向边构成无向图
权值：
1.无权
2.点权
3.边权
4.负权（dij不可以跑）
环：
1.
2.重边
3.有向无环图DAG
路径：
1.简单路径：不经过重复的点 1-->2-->3
不简单路径：经过重复点 1-->2-->3-->1-->4
2.连通，具有传递性
图：
1.树：n个点，n-1条边的无环连通图
2.完全图：一个无向图，图中任意两点之间都有一条连边
3.竞赛图：完全图中的每一条边确定一个方向
4.基环树
5.仙人掌：不是树，图里可以成环，每一条边，要么不在环上，要么只属于一个环
图的输入方式
图的存储方式
图的遍历方法
拓扑排序基于BFS
三种遍历顺序
1.前序遍历 中左右
2.中序遍历 左中右
3.后序遍历 左右中
QUS：给前序中序，写后序
前序第一个就是根，找到在中序的位置，递归
例题1：
给定一个有向图，边权为 1 或 2，求单源最短路。
>Solution
稍微改写一下 BFS 即可。
# 创建三个集合， Q0 表示当前层， Q1 表示距离为 1 的层，
Q2 表示距离为 2 的层，初始 Q0 = {s}, Q1= ∅, Q2= ∅
# 依次取出 Q0 中的点，将其邻点放入对应的 Q1 或 Q2 中
# Q0 = Q1, Q1 = Q2, Q2 = ∅
注意一个点可能和当前层既有长度为 1 的边，又有长度为 2 的
边，应当将其加入 Q1 而非 Q2。
bfs：
建立一个辅助点
每个权是2的边u→v ，都改成 u→辅助点，辅助点→v ，权为1 ，这样边权就都是1
例题2
给出一个有向图和起点 s，对每条边 < u, v > 回答，如果删去这
条边，从 s 到 v 的最短路长度是否会改变。
>Solution
# BFS 求出从 s 出发的单源最短路
# 建立最短路图，即保留满足 dv = du + 1 的边 < u, v >
#如果询问的边不在最短路图中，那么删掉不改变
# 在最短路图上，如果 v 的入度为 1，则该入边是从 s 到 v
的必经边，若删去则 v 的最短路长度会改变
# 在最短路图上，如果 v 的入度大于 1，则删去任何一条入
边， v 的最短路长度都不会改变
拓扑排序
有向无环图的拓扑排序即将所有顶点排为线性序列，使得对于任意的 < u, v >∈ E，都有 u 在线性序列中出现于 v 之前。
有向图中如果有环，则一定不存在拓扑排序；如果没有环，则一定存在拓扑排序。
# 选取一个入度为 0 的点记为 u
# 将 u 添加到线性序列末端
# 删去所有 u 的出边
# 重复上述步骤直到所有点都被加入序列
void topsort() { queue<int> q; for(int i=1;i<=n;i++) if(!in[i]) q.push(i); while(!q.empty()) { int u=q.front(); q.pop(); ans[++cnt]=u; for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt) { int y=edge[i].v; in[y]--; if(!in[y]) q.push(y); } } if(cnt!=n) printf("you fu huan!!!"); }
// Tuo Pu Pai Xu void toposort() { static int que[mxn]; int l = 0, r = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) if (cnt[i] == 0) que[r++] = i; while (l != r) { int u = que[l++]; for (int i = hd[u], v; i; i = nt[i]) if (--cnt[v = to[i]] == 0) que[r++] = v; } }