抽象代数笔记1——半群

本来想在知乎上写，后来想想，算了，拉低平均水平。。。

在知乎上找到一个不错的抽代笔记：
https://zhuanlan.zhihu.com/c_119426147?topic=%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0
可以参考。

我参考的是哈工大的近世代数课程和代数学引论。
开始没啥写的，就罗列一些概念吧：
(S, o) 代数系统， 其中o是二元代数运算: S x S -> S
如果满足结合律，就构成一个半群。

(S, o, e) 幺半群，存在左右幺元，（若存在，左右必相等）
（若存在2个左幺元，则不存在右幺元）

定理： 对于有限半群(S, o)，如果 ∃s，t∈S，sS=S，St=S.$\mathrm{\exists }s，t\in S，sS=S，St=S.$
那么它是 幺半群。
proof: s看为一个置换，那么显然有 sk=e$s^k=e$，故存在左幺元，
结论平凡。

如果一个幺半群 任意元素都有逆，那么就是群。

定理： 有限半群(S, o)是一个群，当且仅当
对于 ∀s∈S,sS=S$\mathrm{\forall }s\in S,sS=S$ 并且 ∃t∈S,St=S.$\mathrm{\exists }t\in S,St=S.$
proof: (S, o)是幺半群，于是 ∃n∈N+,∀s∈S,sn=e.$\mathrm{\exists }n\in N^{+},\mathrm{\forall }s\in S,s^n=e.$
n=1$n=1$时显然，否则n≥2$n\ge 2$，s$s$的逆为sn−1$s^{n-1}$，
于是所有元素可逆，(S, o)为群。

定理： (幺)半群(S, o)的 任意多个子(幺)半群 的交 仍是子(幺)半群
proof: 证明封闭性即可。

定义：(S, o)是一个(幺)半群，A是S的一个非空子集，
则S的一切包含A的子(幺)半群的交集(由上述定理知 是子(幺)半群)
称为由A生成的子(幺)半群，记为(A)
由(a)生成的子半群 {a,a2,...,an,...}$\{a,a^2,...,a^n,...\}$是可交换的。

定义： 半群(S, o)的一个非空子集A称为S的一个左(右)理想，
如果SA⊆A(AS⊆A)$SA\subseteq A(AS\subseteq A)$。
如果A既是左理想，也是右理想，那么称A是S的理想。

易见： 左(右)理想的交仍是左(右)理想。
定义： (S, o)，A是S的一个非空子集。
S的 所有包含A的理想的交 称为 由A生成的理想。

定理： A是半群(S, o)的一个非空子集，
则：
1.由A生成的左理想是 A⋃SA$A\bigcup SA$
2.由A生成的右理想是 A⋃AS$A\bigcup AS$
3.由A生成的理想是 A⋃SA⋃AS⋃SAS$A\bigcup SA\bigcup AS\bigcup SAS$

定理： A是幺半群(M, o, e)的一个非空子集，则：
1. 由A生成的左理想是 MA
2. 由A生成的右理想是 AM
3. 又A生成的理想是 MAM

定义：
一个(幺)半群称为循环(幺)半群，如果这个(幺)半群是由其中的某个元素生成的(幺)半群。
由元素a生成的循环(幺)半群记为(a)
(即：证明 包含a的子(幺)半群是S，则S是循环(幺)半群)
(a)={a,a2,...,an,...}=S$(a)=\{a,a^2,...,a^n,...\}=S$
即：(a)生成的子半群是 由a的方幂构成的集合=S

定理：
循环(幺)半群 是 可交换(幺)半群。
proof: 循环半群是a的生成半群，可交换。

定义： 同构
设(S,o)$(S,o)$ 和 (T,∗)$(T,\ast )$ 是两个半群，如果存在从 S$S$ 到 T$T$ 的一个双射φ$\phi$，
使得对 ∀a,b∈S$\mathrm{\forall }a,b\in S$
有 φ(a o b)=φ(a)∗φ(b)$\phi (aob)=\phi (a)\ast \phi (b)$
则称半群 (S,o)$(S,o)$ 和 (T,∗)$(T,\ast )$ 同构。记为(S,o)≅(T,∗)$(S,o)\cong (T,\ast )$ 或 S≅T$S\cong T$.
φ$\phi$ 称为从S到T的一个同构(映射)。
(有幺元时 φ(e)=e′$\phi (e)=e^{{}^{\prime }}$)

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幺半群的Cayley定理：
任何幺半群(M,o,e) $(M,o,e)$ 同构于 变换幺半群(L(M),o,lM)$(L(M),o,l_M)$
proof:
构造 L(M)={ρa|ρa:M→M,a∈M,ρa(x)=a o x,∀x∈M}$L(M)=\{{\rho }_a|{\rho }_a:M\to M,a\in M,{\rho }_a(x)=aox,\mathrm{\forall }x\in M\}$
即 L(M)$L(M)$ 为这样一个集合，其元素是由 a$a$ 所确定的M$M$上的一个左变换。
在 L(M)$L(M)$ 上定义乘法 "o"$"o"$ 如下：(映射的合成)
ρa o ρb=ρa o b,∀ρa,ρb∈L(M)${\rho }_{a}o{\rho }_b={\rho }_{aob},\mathrm{\forall }{\rho }_a,{\rho }_b\in L(M)$，
则(L(M),o,ρe)$(L(M),o,{\rho }_e)$是幺半群。
现在取φ(a)=ρa$\phi (a)={\rho }_a$，易见同构。

定义： 同态
设(S,o)$(S,o)$ 和 (T,∗)$(T,\ast )$ 是两个半群，如果存在从 S$S$ 到 T$T$ 的一个映射φ$\phi$，
使得对 ∀a,b∈S$\mathrm{\forall }a,b\in S$
有 φ(a o b)=φ(a)∗φ(b)$\phi (aob)=\phi (a)\ast \phi (b)$
则称半群 (S,o)$(S,o)$ 和 (T,∗)$(T,\ast )$ 同态。φ$\phi$ 称为从S$S$到T$T$的一个同态(映射)。

设 (M,o,e)$(M,o,e)$ 和 (M′,∗,e′)$(M^{\prime },\ast ,e^{\prime })$ 是两个幺半群，如果存在从 M$M$ 到 M′$M^{\prime }$ 的一个映射φ$\phi$，
使得对 ∀a,b∈M$\mathrm{\forall }a,b\in M$ ，有
φ(e)=e′, φ(a o b)=φ(a)∗φ(b)$\phi (e)=e^{\prime },\phi (aob)=\phi (a)\ast \phi (b)$
则称幺半群 (M,o,e)$(M,o,e)$ 和 (M′,∗,e′)$(M^{\prime },\ast ,e^{\prime })$ 同态。φ$\phi$ 称为从M$M$到M′$M^{\prime }$的一个同态(映射)。
(注：φ(e)=e′$\phi (e)=e^{\prime }$ 无法推出，在满同态下才行)

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定理：
设(S,o)$(S,o)$ 是半群，(T,∗)$(T,\ast )$ 是代数系。
若存在 满射 φ:S→T$\phi :S\to T$ 使得 ∀x,y∈S$\mathrm{\forall }x,y\in S$ 有
φ(x o y)=φ(x)∗φ(y)$\phi (xoy)=\phi (x)\ast \phi (y)$
则 T$T$ 是半群。

定理：
设(S,o,e)$(S,o,e)$ 是幺半群，(T,∗)$(T,\ast )$ 是半群。
若 φ$\phi$ 是 S$S$ 到 T$T$ 的满半群同态，
则 φ(e)$\phi (e)$ 是 T$T$ 的幺元，从而 (T,∗,φ(e))$(T,\ast ,\phi (e))$ 是幺半群。

定理：
设 (M,o,e)$(M,o,e)$ 和 (M′,∗,e′)$(M^{\prime },\ast ,e^{\prime })$ 是两个幺半群。
若 M$M$ 到 M′$M^{\prime }$ 有一个同态，
则 M$M$ 的可逆元素 a$a$ 的像 φ(a)$\phi (a)$ 也可逆，
并且 (φ(a))−1=φ(a−1)$(\phi (a){)}^{-1}=\phi (a^{-1})$

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同余关系定义：
设 ≅$\cong$ 是代数系 (X,o)$(X,o)$ 上的等价关系。
∀a,a′,b,b′∈X$\mathrm{\forall }a,a^{\prime },b,b^{\prime }\in X$，如果a≅a′,b≅b′$a\cong a^{\prime },b\cong b^{\prime }$，有a o a′≅b o b′$ao{a}^{\prime }\cong bo{b}^{\prime }$
那么就称 ≅$\cong$ 是代数系 (X,o)$(X,o)$ 上的同余关系。

定理：
设 ≅$\cong$ 是代数系 (X,o)$(X,o)$ 上的一个关系。
∀[a],[b]∈X/≅$\mathrm{\forall }[a],[b]\in X/\cong$，定义“⋅$\cdot$”：
[a]⋅[b]=[a o b]$[a]\cdot [b]=[aob]$
则“⋅$\cdot$”是 X/≅$X/\cong$ 上的二元代数运算，当且仅当 ≅$\cong$ 是同余关系。
(同余关系意味着从 X$X$ 当中的乘法“o$o$”建立 X/≅$X/\cong$ 当中的乘法“⋅$\cdot$”)

定义：
设(S,o)$(S,o)$ 和 (T,∗)$(T,\ast )$ 是两个半群。φ$\phi$ 是 S$S$ 到 T$T$ 的同态。
半群(S/Eφ,⋅)$(S/E_{\phi },\cdot )$ 称为 商半群。令 γ:S→S/Eφ,∀a∈S,γ(a)=[a]$\gamma :S\to S/E_{\phi },\mathrm{\forall }a\in S,\gamma (a)=[a]$，则称 γ$\gamma$ 为 S$S$ 到商半群 S/Eφ$S/E_{\phi }$ 的自然同态。

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幺半群的同态基本定理：
设 φ$\phi$ 是幺半群 (M,o,e)$(M,o,e)$ 到 (M′,∗,e′)$(M^{\prime },\ast ,e^{\prime })$ 的同态，则：
1.同态像 φ(M)$\phi (M)$ 是 M′$M^{\prime }$ 的一个子幺半群。
2.由 φ$\phi$ 确定的等价关系是同余关系。即如果aEφa′,bEφb′$a{E}_{\phi }{a}^{\prime },b{E}_{\phi }{b}^{\prime }$，那么(a o b)Eφ(a′o b′)$(aob)E_{\phi }(a^{\prime }o{b}^{\prime })$。
于是∀[a],[b]∈M/Eφ,[a]⋅[b]=[a o b]$\mathrm{\forall }[a],[b]\in M/E_{\phi },[a]\cdot [b]=[aob]$ 是 M/Eφ$M/E_{\phi }$ 上的二元代数运算，(M/Eφ,⋅,[e])$(M/E_{\phi },\cdot ,[e])$ 是幺半群。
3.存在唯一的 M/Eφ$M/E_{\phi }$ 到 M′$M^{\prime }$ 的单同态 φ¯¯¯$\overline{\phi }$ 使得：
φ=φ¯¯¯ o γ$\phi =\overline{\phi }o\gamma$，其中 γ$\gamma$ 是 M$M$ 到 M/Eφ$M/E_{\phi }$ 的自然同态。
4.如果 φ$\phi$ 是满同态，则 M/Eφ$M/E_{\phi }$ 与 M′$M^{\prime }$ 同构。