图形学数学--向量

1、向量的性质

一个n维向量V可以表示为

V = <V1, V2,…Vn >

Vi称为V的分量。如三维点P的分量表示为Px, Py, Pz

定理1.1
对于给定的任何两个系数a,b 以及任意三个向量P、Q、R都有

P+Q = Q+P
(P+Q)+R = P+(Q+R)
(ab)P = a(bP)
a(P+Q) = aP+aQ
(a+b)P = aP+bP

定理1.2

||P|| >= 0
当且仅当P=<0, 0, 0…0>时 ||P||=0
||aP|| = |a|*||P||
||P+Q|| <= ||P||+||Q||

2、点积

定理1.3
两个n维向量P、Q的点积记做 P∙Q
P∙Q = ∑ni=0PiQi

如三维空间中 P∙Q = PxQx+PyQy+PzQz

定理1.4
对于给定的两个向量P、Q，点积P∙Q满足
P∙Q = ||P|| ||Q|| cosα

P·Q>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间
P·Q=0 P、Q相互垂直
P·Q<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间
角度越小 P、Q方向越相近
点积的结果不再是向量

2.2 向量的投影

向量U在V上的投影为U’ 长度为d
投影U’记做projVU =U∙V||V||2V
U相对于V的垂直分量记做perpVU = U - projVU

3、向量的叉积

两个三维向量的叉积又称向量积，其结果是一个向量且垂直于原来相乘的两个向量。

定义1.6
两个3D向量P、Q的叉积记做P×Q, 结果：
P×Q = <PyQz−PzQy,PzQx−PxQz,PxQy−PyQx>

定理1.7
设P、Q为任意两个3D向量，则有(P×Q)∙P=0、(P×Q)∙Q=0

定理1.8
||P×Q|| = ||P|| ||Q|| sinα

定理1.9
Q×P = -P×Q
P×P-0 = <0, 0, 0>
P×Q×R = P2Q-(P∙Q)P

4、向量空间

定理1.10
向量空间是一个集合V，它的元素称为向量
V对于加法运算封闭。即对于任意元素P,Q 它们的和P+Q也是V的元素
V对于乘法运算封闭。
向量空间中存在一个元素0，对于V的任意元素P都有 P+0 = 0+p = P
向量中的任意元素P，都有一个元素Q 使得Q+P=0

参考：
点积、叉积：http://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832
向量投影：http://www.cnblogs.com/graphics/archive/2010/08/03/1791626.html