最基础的傅里叶变换公式推导

学了信号分析处理好几年，平时偶尔遇到的信号的FT还是不会推，或者对某些形式的积分束手无策，本文写的几个最基础的信号的FT推导，纯粹是为了深挖和巩固基础。

（一）一维连续FT

推导几个简单的例子：

（1）$f(x)=1$f(x)=1
作一维傅里叶变换：
$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-j2\pi ux}dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi ux}dx=\delta(u)\tag1$F(u)=∫−∞∞​f(x)e−j2πuxdx=∫−∞∞​e−j2πuxdx=δ(u)(1)

其中最后一步较难推导，又很美妙，特此重点记录下来，遇到类似的积分就会推了。
（标准正态分布的pdf积分结果为1推出了$\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}$∫−∞∞​e−t2dt=π​，也是一个常用的但很难直接推的结果，详见这里）

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi ux}dx=\delta(u)\tag2$∫−∞∞​e−j2πuxdx=δ(u)(2)
虽然直接推导不太会，但有了这个式子后自己反回去验证还是容易的，

• 当u=0时被积函数为常数1，所以积分结果当然是1；
• u取其它值时，被积函数用欧拉公式写成$cos(j2\pi ux)-jsin(j2\pi ux)$cos(j2πux)−jsin(j2πux),第二项奇函数在$-\infty$−∞到$+\infty$+∞积分为0；第一项是偶函数，虽然不能根据奇偶性判断出在$-\infty$−∞到$+\infty$+∞积分为0，但是由于cos的周期性，每个周期内积分都是0，那么在$-\infty$−∞到$+\infty$+∞上可以认为有无限多个周期，所以认为它在全区间的积分也是0。

下面就可以用到公式（2）。
（2）$f(x)=e^{j2\pi f_0x}$f(x)=ej2πf0​x
$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-j2\pi ux}dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{j2\pi f_0x}e^{-j2\pi ux}dx$F(u)=∫−∞∞​f(x)e−j2πuxdx=∫−∞∞​ej2πf0​xe−j2πuxdx
$=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi (u-f_0)x}dx=\delta(u-f_0)\tag3$=∫−∞∞​e−j2π(u−f0​)xdx=δ(u−f0​)(3)

(3)$f(x)=cos(2\pi f_0x)$f(x)=cos(2πf0​x)
$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-j2\pi ux}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-j2\pi f_0x}+e^{j2\pi f_0x}}{2}e^{-j2\pi ux}dx=$F(u)=∫−∞∞​f(x)e−j2πuxdx=∫−∞∞​2e−j2πf0​x+ej2πf0​x​e−j2πuxdx=
$\frac 12[\delta(u+f_0)+\delta(u-f_0)]\tag4$21​[δ(u+f0​)+δ(u−f0​)](4)

(4)$f(x)=sin(2\pi f_0x)$f(x)=sin(2πf0​x)
$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-j2\pi ux}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{j2\pi f_0x}-e^{-j2\pi f_0x}}{2j}e^{-j2\pi ux}dx=$F(u)=∫−∞∞​f(x)e−j2πuxdx=∫−∞∞​2jej2πf0​x−e−j2πf0​x​e−j2πuxdx=
$\frac {1}{2j}[\delta(u-f_0)-\delta(u+f_0)]\tag5$2j1​[δ(u−f0​)−δ(u+f0​)](5)
(5)阶跃函数$u(t）$u(t）
(6)冲激函数$\delta(t）$δ(t）
(7)门函数
(8)抽样函数

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（二）一维离散傅里叶变换（DFT）

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（三）二维连续FT

写着写着突然感觉自己在写推导类习题的解析······这就是传说中的闲到写博客么······希望这不是再浪费时间·····

例子：

（1）$f(x,y)=sin4\pi x+cos6\pi y$f(x,y)=sin4πx+cos6πy

先考虑$sin4\pi x$sin4πx
$\mathcal F(sin4\pi x)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}sin4\pi xe^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$F(sin4πx)=∫−∞∞​∫−∞∞​sin4πxe−j2π(ux+vy)dxdy
$=\int_{-\infty}^{\infty}sin4\pi xe^{-j2\pi ux}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi vy}dy$=∫−∞∞​sin4πxe−j2πuxdx∫−∞∞​e−j2πvydy
$=\frac {1}{2j}[\delta(u-2)-\delta(u+2)]\delta(v)$=2j1​[δ(u−2)−δ(u+2)]δ(v)
$=\frac {1}{2j}[\delta(u-2,v)-\delta(u+2,v)]$=2j1​[δ(u−2,v)−δ(u+2,v)]

注意：两个一维冲激函数的乘积是二位冲激函数。
$\mathcal F(cos6\pi y)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}cos6\pi ye^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$F(cos6πy)=∫−∞∞​∫−∞∞​cos6πye−j2π(ux+vy)dxdy
$=\int_{-\infty}^{\infty}cos6\pi ye^{-j2\pi vy}dy\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi ux}dx$=∫−∞∞​cos6πye−j2πvydy∫−∞∞​e−j2πuxdx
$=\frac {1}{2}[\delta(v-3)+\delta(v+3)]\delta(u)$=21​[δ(v−3)+δ(v+3)]δ(u)
$=\frac {1}{2}[\delta(u,v-3)+\delta(u,v+3)]$=21​[δ(u,v−3)+δ(u,v+3)]
so
$F(u,v)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$F(u,v)=∫−∞∞​∫−∞∞​f(x,y)e−j2π(ux+vy)dxdy
$=\mathcal F(sin4\pi x)+\mathcal F(cos6\pi y)$=F(sin4πx)+F(cos6πy)
$=\frac {1}{2j}[\delta(u-2,v)-\delta(u+2,v)]+\frac {1}{2}[\delta(u,v-3)+\delta(u,v+3)]$=2j1​[δ(u−2,v)−δ(u+2,v)]+21​[δ(u,v−3)+δ(u,v+3)]

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（四）二维离散傅里叶变换（DFT）