傅里叶变换的推导

三角函数形式：

$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty[~a_ncos(nwt)+b_nsin(nwt)~] \tag{1}$f(t)=2a0​​+n=1∑∞​[ an​cos(nwt)+bn​sin(nwt) ](1)

$a_{0}=\frac{2}{T} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) d t \tag{2}$a0​=T2​∫−ππ​f(t)dt(2)

$a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(nwt)dt \tag{3}$an​=T2​∫t0​t0​+T​f(t)cos(nwt)dt(3)

$b_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(nwt)dt \tag{4}$bn​=T2​∫t0​t0​+T​f(t)cos(nwt)dt(4)

欧拉公式

先说说虚数这个概念
关于虚数的意义：
  虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1的平方根，可是它真正的意义是什么呢?

  这里有一条数轴，在数轴上有一个线段，它的长度是1。当它乘以3的时候，它的长度发生了变化，变成了3，而当它乘以-1的时候，就变成了-3，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。

  我们知道乘-1其实就是乘了两次$i$i使线段旋转了180度，那么乘一次$i$i呢——答案很简单——旋转了90度。

  同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。

通过欧拉公式
$e^{i \theta}=\cos (\theta)+i \sin (\theta)$eiθ=cos(θ)+isin(θ)

欧拉公式关键的作用：将正弦波统一成了简单的指数形式。
用复数的形式来表示傅里叶展开

$cos(\theta)$cos(θ)和$\sin (\theta)$sin(θ)可以变形为：
$\begin{array}{c} \cos (\theta)=\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2} \end{array}$cos(θ)=2eiθ+e−iθ​​

$\sin (\theta)=\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2 i}=-i \cdot \frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}$sin(θ)=2ieiθ−e−iθ​=−i⋅2eiθ−e−iθ​

待入$(1)$(1)式得
$\begin{aligned} f(t) &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \frac{e^{i n \omega t}+e^{-i n \omega t}}{2}-i b_{n} \frac{e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t}}{2}\right] \\ &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{a_{n}-i b_{n}}{2} e^{i n \omega t}+\frac{a_{n}+i b_{n}}{2} e^{-i n \omega t}\right] \tag{5} \end{aligned}$f(t)​=2a0​​+n=1∑∞​[an​2einωt+e−inωt​−ibn​2einωt−e−inωt​]=2a0​​+n=1∑∞​[2an​−ibn​​einωt+2an​+ibn​​e−inωt]​(5)

将$(2),(3),(4)$(2),(3),(4)待入得

$\begin{aligned} \frac{a_{n}-i b_{n}}{2} &=\frac{1}{T}\left[\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) \cos (n \omega t) d t-i \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) \sin (n \omega t) d t\right] \\ &=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t)[\cos (n \omega t)-i \sin (n \omega t)] d t \\ &=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t)\left[\frac{e^{i n \omega t}+e^{-i n \omega t}}{2}-i \cdot(-i) \cdot \frac{e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t}}{2}\right] d t \\ &=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n w t} d t \end{aligned}$2an​−ibn​​​=T1​[∫t0​t0​+T​f(t)cos(nωt)dt−i∫t0​t0​+T​f(t)sin(nωt)dt]=T1​∫t0​t0​+T​f(t)[cos(nωt)−isin(nωt)]dt=T1​∫t0​t0​+T​f(t)[2einωt+e−inωt​−i⋅(−i)⋅2einωt−e−inωt​]dt=T1​∫t0​t0​+T​f(t)e−inwtdt​

同理可得$\frac{a_{n}+i b_{n}}{2}=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{i n w t} d t$2an​+ibn​​=T1​∫t0​t0​+T​f(t)einwtdt

将两式代入到(5)中解得：
$\begin{aligned} f(t) &=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) d t+\frac{1}{T} \sum_{n=1}^{\infty}\left[\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n u t} d t \cdot e^{i n \omega t}+\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{i n u t} d t \cdot e^{-i n \omega t}\right] \\ &=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) d t+\frac{1}{T} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n u t t} d t \cdot e^{i n \omega t}+\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{-1} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n u t} d t \cdot e^{i n \omega t} \\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n w t} d t \cdot e^{i n \omega t} \tag{6} \end{aligned}$f(t)​=T1​∫t0​t0​+T​f(t)dt+T1​n=1∑∞​[∫t0​t0​+T​f(t)e−inutdt⋅einωt+∫t0​t0​+T​f(t)einutdt⋅e−inωt]=T1​∫t0​t0​+T​f(t)dt+T1​n=1∑∞​∫t0​t0​+T​f(t)e−inuttdt⋅einωt+T1​n=−∞∑−1​∫t0​t0​+T​f(t)e−inutdt⋅einωt=n=−∞∑+∞​T1​∫t0​t0​+T​f(t)e−inwtdt⋅einωt​(6)

注：上面是令后面的$n \to -n$n→−n。 因为n是整数，$(-1,0)$(−1,0)和$(0,1)$(0,1)里面没有值，于是乎$[-\infty,-1]\cup[0]\cup[1,\infty]$[−∞,−1]∪[0]∪[1,∞]是可以连成$[-\infty,\infty]$[−∞,∞]的

令$c_{n}=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n w t} d t$cn​=T1​∫t0​t0​+T​f(t)e−inwtdt公式$(6)$(6)可以简化为$f(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty} c_{n} \cdot e^{i n w t}$f(t)=−∞∑+∞​cn​⋅einwt

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至此，公式$(6)$(6)表示的是形式是一个离散的情况，当$T \to \infty$T→∞时就是连续的情况
令$nw \to w_x$nw→wx​，$\frac{1}{T}=\frac{w}{2\pi}$T1​=2πw​，$\therefore\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{\Delta w} \to \int_{-\infty}^{+\infty}dw$∴∑n=−∞+∞​Δw→∫−∞+∞​dw,代入$(6)$(6)式得

$\begin{aligned} f(t) &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) e^{-i w_x t} d t \cdot e^{i w_x t}dw \end{aligned} \tag{7}$f(t)​=2π1​∫−∞+∞​∫−∞+∞​f(t)e−iwx​tdt⋅eiwx​tdw​(7)

令$F\left(\omega_{x}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) e^{-i w_x t} dt$F(ωx​)=∫−∞+∞​f(t)e−iwx​tdt，代入$(7)$(7)式，得

$\begin{aligned} f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F\left(\omega_{x}\right) \cdot e^{i \omega_{x} t} d \omega_{x} \end{aligned}$f(t)=2π1​∫−∞+∞​F(ωx​)⋅eiωx​tdωx​​

至此，我们得到傅里叶变换
$F\left(\omega_{x}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) e^{-i \Delta w t} dt$F(ωx​)=∫−∞+∞​f(t)e−iΔwtdt

反傅里叶变换

$f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F\left(\omega_{x}\right) \cdot e^{i \omega_{x} t} d \omega$f(t)=2π1​∫−∞+∞​F(ωx​)⋅eiωx​tdω