数学分析 重积分(第21章)

一.二重积分
1.平面图形的面积
(1)定义:

(2)可求面积的充要条件:

定理21.1:平面有界图形$P$P可求面积的充要条件是:对$∀ε>0$∀ε>0,总存在直线网$T$T,使得$S_P(T)-s_P(T)<ε\qquad(2)$SP​(T)−sP​(T)<ε(2)

注:①证明方法类似于定积分中下和与上和相关性质的证明
推论:平面有界图形$P$P的面积为0的充要条件是:其外面积$\bar I_P=0$IˉP​=0,即对$∀ε>0$∀ε>0.存在直线网$T$T,使得$S_P(T)<ε$SP​(T)<ε或对$∀ε>0,P$∀ε>0,P总能被有限个面积总和小于$ε$ε的小矩形所覆盖

(3)边界的面积:

定理21.2:平面有界图形$P$P可求面积的充要条件是:$P$P的边界$K$K的面积为0

定理21.3:若曲线$K$K为定义在$[a,b]$[a,b]上的连续函数$f(x)$f(x)的图像,则曲线$K$K的面积为0


推论1:参数方程$x=φ(t),y=ψ(t)\,(t∈[α,β])$x=φ(t),y=ψ(t)(t∈[α,β])所表示的光滑曲线$K$K的面积为0

推论2:由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的

2.二重积分的定义及存在性
(1)分割,细度,积分和:


(2)二重积分的定义:



(3)二重积分的存在性:

定理21.4:$f(x,y)$f(x,y)在有界,可求面积的区域$D$D上可积的充要条件是:$\displaystyle\lim_{||T||→0}S(T)=\displaystyle\lim_{||T||→0}s(T)$∣∣T∣∣→0lim​S(T)=∣∣T∣∣→0lim​s(T)

定理21.5:$f(x,y)$f(x,y)在有界,可求面积的区域$D$D上可积的充要条件是:对$∀ε>0$∀ε>0,存在$D$D的某个分割$T$T,使得$S(T)-s(T)<ε$S(T)−s(T)<ε

定理21.6:有界闭区域$D$D上的连续函数必可积

定理21.7:设$f(x,y)$f(x,y)在有界闭区域$D$D上有界,且其不连续点集$E$E是零面积集,则$f(x,y)$f(x,y)在$D$D上可积

3.二重积分的性质:

①若$f(x,y)$f(x,y)在区域$D$D上可积,$k$k为常数,则$kf(x,y)$kf(x,y)在$D$D上也可积,且$\iint_Dkf(x,y)dσ=k\iint_Df(x,y)dσ$∬D​kf(x,y)dσ=k∬D​f(x,y)dσ

②若$f(x,y),g(x,y)$f(x,y),g(x,y)在区域$D$D上可积,则$f(x,y)±g(x,y)$f(x,y)±g(x,y)在$D$D上也可积,且$\iint_D[f(x,y)±g(x,y)]dσ=\iint_Df(x,y)dσ±\iint_Dg(x,y)dσ$∬D​[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∬D​f(x,y)dσ±∬D​g(x,y)dσ

③若$f(x,y)$f(x,y)在区域$D_1,D_2$D1​,D2​上可积,且$D_1,D_2$D1​,D2​无公共内点,则$f(x,y)$f(x,y)在$D_1∪D_2$D1​∪D2​上也可积,且$\iint_{D_1∪D_2}f(x,y)dσ=\iint_{D_1}f(x,y)dσ+\iint_{D_2}f(x,y)dσ$∬D1​∪D2​​f(x,y)dσ=∬D1​​f(x,y)dσ+∬D2​​f(x,y)dσ

④若$f(x,y),g(x,y)$f(x,y),g(x,y)在区域$D$D上可积,且$f(x,y)≤g(x,y)\,((x,y)∈D)$f(x,y)≤g(x,y)((x,y)∈D)则$\iint_Df(x,y)dσ≤\iint_Dg(x,y)dσ$∬D​f(x,y)dσ≤∬D​g(x,y)dσ

⑤若$f(x,y)$f(x,y)在区域$D$D上可积,则$|f(x,y)|$∣f(x,y)∣在$D$D上也可积,且$|\iint_Df(x,y)dσ|≤\iint_D|f(x,y)|dσ$∣∬D​f(x,y)dσ∣≤∬D​∣f(x,y)∣dσ

⑥若$f(x,y)$f(x,y)在区域$D$D上可积,且$m≤f(x,y)≤M\,((x,y)∈D)$m≤f(x,y)≤M((x,y)∈D)则$mS_D≤\iint_Df(x,y)dσ≤MS_d$mSD​≤∬D​f(x,y)dσ≤MSd​这里$S_D$SD​是积分区域$D$D的面积

⑦(中值定理)若$f(x,y)$f(x,y)在有界闭区域$D$D上连续,则$∃(\xi,η)S_D$∃(ξ,η)SD​这里$S_D$SD​是积分区域$D$D的面积

4.直角坐标系下二重积分的计算
(1)矩形区域上二重积分的计算:

定理21.8:设$f(x,y)$f(x,y)在矩形区域$D=[a,b]×[c,d]$D=[a,b]×[c,d]上可积,且对$∀x∈[a,b]$∀x∈[a,b],积分$\int_c^df(x,y)dy$∫cd​f(x,y)dy存在,则累次积分$\int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy$∫ab​dx∫cd​f(x,y)dy也存在,且$\iint_Df(x,y)dσ=\int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy\qquad(1)$∬D​f(x,y)dσ=∫ab​dx∫cd​f(x,y)dy(1)

定理21.9:设$f(x,y)$f(x,y)在矩形区域$D=[a,b]×[c,d]$D=[a,b]×[c,d]上可积,且对$∀y∈[c,d]$∀y∈[c,d],积分$\int_a^bf(x,y)dx$∫ab​f(x,y)dx存在,则累次积分$\int_c^ddy\int_a^bf(x,y)dx$∫cd​dy∫ab​f(x,y)dx也存在,且$\iint_Df(x,y)dσ=\int_c^ddy\int_a^bf(x,y)dx$∬D​f(x,y)dσ=∫cd​dy∫ab​f(x,y)dx

特别地,当$f(x,y)$f(x,y)在矩形区域$D=[a,b]×[c,d]$D=[a,b]×[c,d]上连续时,有$\iint_Df(x,y)dσ=\int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy=\int_c^ddy\int_a^bf(x,y)dx$∬D​f(x,y)dσ=∫ab​dx∫cd​f(x,y)dy=∫cd​dy∫ab​f(x,y)dx

(2)一般区域上二重积分的计算:

定理21.10:若$f(x,y)$f(x,y)在如(4)式所示的$x$x型区域$D$D上连续,其中$y_1(x),y_2(x)$y1​(x),y2​(x)在$[a,b]$[a,b]上连续,则$\iint_Df(x,y)dσ=\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy$∬D​f(x,y)dσ=∫ab​dx∫y1​(x)y2​(x)​f(x,y)dy即二重积分可化为先对$y$y后对$x$x的累次积分


同理,若$D$D为如(4)式所示的$y$y型区域,其中$x_1(y),x_2(y)$x1​(y),x2​(y)在$[c,d]$[c,d]上连续,则$\iint_Df(x,y)dσ=\int_c^ddy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx$∬D​f(x,y)dσ=∫cd​dy∫x1​(y)x2​(y)​f(x,y)dx即二重积分可化为先对$x$x后对$y$y的累次积分

5.变量变换
(1)变量变换公式:

(2)极坐标下二重积分的计算:

二.格林公式与路线无关性

三.三重积分
1.概念

2.直角坐标系下的计算

3.三重积分换元法

四.重积分的应用
1.曲面的面积

2.质心

3.转动惯量

4.引力

五.$n$n重积分

六.反常二重积分
1.无界区域上的二重积分

2.无界函数上的二重积分