看了鹏程大牛的博客，我才明白了高数中微分和积分的两者之间的联系，同样作为一个准备考研，现在我也要对高等数学进行学习了。我这几天拉着扯着总算是把自己的复习进度完成到了第三章，复习进度缓慢，一为基础知识不够扎实，二为特意放慢 速度增加复习的质量。转入正题。
一元函数积分学这一章主要讲了两个部分的内容，一个是不定积分，另外一个定积分。
不定积分是为了引入定积分而存在的， 什么是不定积分呢？
不定积分其实就是求一个函数的原函数， 我们要求的是F(x)。
第一节
什么是原函数？
在区间I内，对于任意的xI， 都有
，那么F(x)称为在区间I内的原函数。
什么情况存在原函数呢？
有一句话可以概括：连续函数必定存在原函数！这句话的证明在书中的第六节。
因为初等函数在自己的定义区间上都是连续的，因此初等函数都在自己的定义域区间上一定存在原函数。
原函数都多少个?
所以说明了如果在I区间上f(x)存在原函数，那么它在I内就有无限多个的原函数。
这个一个很重要的概念，在挺多的证明题中可能用到！
原函数之间的关系知识存在一个常数之间的关系
之后引入了不定积分的概念
F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数，那么
求一个函数的不定积分其实就是逆向求一个已知导数的原函数，对于基本积分表熟记的同时还应该要学会巧妙地转换。
第二部分
在这以后面的部分主要讲了三种的不定积分的积分法
- 第一类换元积分法
- 第二类换元积分法
- 分部积分法
这几个都只是求积分的方法。除了要背几个常用的复杂的不易推出的积分，其他只需指导如何推导即可。
三种方法是可以一起结合使用的。
之后讲述的是有理函数的不定积分有几个规则需要牢记(上图)；
总结一下上面的两个部分，不定积分只是对于定积分的引入的，它为定积分提供了方法，其中有一些的方法是需要牢记的，收集在自己的错题本上，
在求这些不定积分的时候应该要细心加耐心，仔细检查每一步，认真观察每一步总会发现能够想消的。
现在进入一个重点的部分，这也是我的一个难点！
第三部分 定积分
首先是通过一个实际的例子来引入定积分，
我们如何来求一条曲线和 x轴围成的面积。
- 划分区间
- 近似
- 求和
- 逼近
划分区间[a, b]是就是把区间等分成n个小的区间
然后求每一个区间所在的面积，最后将他们的和近似成 i = 1，2,3，···，n
接着进行求和把这些面积加起来
最近进行逼近
定积分的定义也是如此的
定积分I仅与被积函数f(x)及积分区间[a, b]有关，与所用的积分变量的符号无关。
在什么情况下这个函数是可积的呢？
连续是可积的充分条件
可积不一定连续
存在连个充分条件的定理：
(上图书197)
接着讲述了定积分的几个性质
在引入了两个基本的定义之后就可以对定积分的性质进行证明了。证明这些性质中运用到了定积分的基本的定义。
一共有7个性质(上图199)
需要做的事明白它们在被证明的过程中使用了什么样的方法!
性质1和2都是使用定积分的基本的定义，使用了求被积函数在区间上求极限的方法。
性质3和4都分别使用的极限的基本的性质。
性质4即为微分中值定理！
准确掌握这些性质的证明方法和特点，在证明题中要用到的可能性很大。
在第六节中引入了全书的重点的内容就是牛顿莱布尼茨公式
什么是积分上限的函数，它的导数又是怎么样的呢？
积分上限函数指的就是在一个区间[a, b]上可积的函数f(x),有x使得
其中很重要的因为定积分和积分变量的记法无关，即x和积分变量t是没有关系的。
对于
都有一个对应的值，即如果x确定了话，这个就是代表I个常数了。
对于牛顿莱布尼茨公式
(上图书205)
该章节的后半部分都是讲的如果使用莱布尼茨公式进行 运算。